Основы статистики: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 13, 29, 10, 44, 31, 54.

n = 6

s =

2.Описательная статистикаСложная

Баллы за экзамен распределены нормально со средним 70 и стандартным отклонением 8. Найдите z-оценку z для результата 66.

μ = 70σ = 8x = 66

z =

3.ВероятностьСредняя

Для показанного распределения найдите дисперсию Var(X) величины X.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,15, 0,2, 0,35, 0,3

Var(X) =

4.ВероятностьСложная

X имеет показанное распределение, а Y = 0,5X + 5. Найдите стандартное отклонение σ_Y величины Y.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,2, 0,35, 0,25, 0,2Y = 0,5X + 5

σ_Y =

5.Нормальное распределениеСредняя

X нормальна со средним 60 s и стандартным отклонением 5 s; Y независима и нормальна со средним 45 s и стандартным отклонением 4 s. Найдите вероятность P того, что X + Y больше 111,4 s. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ_X = 60, σ_X = 5μ_Y = 45, σ_Y = 4X + Y > 111,4 s

P =

6.Нормальное распределениеСложная

Пусть массы пакетов распределены нормально со средним 250 g и стандартным отклонением 5 g. Найдите значение x, ниже которого лежат 99 % значений (99-й процентиль).

μ = 250σ = 5P = 99%

x = g

7.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 10 элементов имеет среднее 14,5 и стандартное отклонение s = 2. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите верхнюю границу 99 % доверительного интервала для среднего.

n = 10x̄ = 14,5s = 299%t(9) = 3,25

верхняя граница =

8.Доверительные интервалыСложная

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 39. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 99 % доверительного интервала для среднего не превышала 0,5?

σ = 39E = 0,599%

n =

9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

12 сотрудников проходят тест на скорость печати до и после обучающего курса. Для каждого записывается разность d = после − до (слов в минуту). Средняя разность равна 2, стандартное отклонение разностей — 3,3. Найдите статистику парного критерия t для H₀: μ_d = 0.

n = 12d̄ = 2s_d = 3,3

t =

10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

В исследовании выздоравливают 98 из 150 пациентов, получавших лечение A, и 142 из 200 пациентов, получавших лечение B. Используя объединённую долю, найдите статистику критерия z для H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 98n₁ = 150x₂ = 142n₂ = 200

z =

11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 5 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Даны их суммы. Найдите по этим суммам коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 5Σx = 15Σy = 88Σx² = 55Σy² = 1588Σxy = 245

r =

12.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 6 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Спрогнозируйте ŷ при x = 5.

n = 6x = 5

ŷ =

3Растворы

1.Описательная статистика

Ответ: s = 17,1

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 181/6 = 30,17

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = (−17,17)² + (−1,167)² + (−20,17)² + 13,83² + 0,8333² + 23,83² = 1463

Стандартное отклонение

s = √(1463/5) = 17,1

Ответ

s = 17,1

2.Описательная статистика

Ответ: z = −0,5

Стандартизуйте

z = (66 − 70)/8 = −0,5

Ответ

z = −0,5

3.Вероятность

Ответ: Var(X) = 1,06

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 1·0,15 + 2·0,2 + 3·0,35 + 4·0,3 = 2,8

Среднее квадратов

E(X²) = 1·0,15 + 4·0,2 + 9·0,35 + 16·0,3 = 8,9

Дисперсия

Var(X) = 8,9 − 2,8² = 1,06

Ответ

Var(X) = 1,06

4.Вероятность

Ответ: σ_Y = 0,5117

Разброс X

μ = 1,45, Var(X) = 1,047, σ_X = 1,023

Линейное преобразование

σ_Y = |0,5|·1,023 = 0,5117

Ответ

σ_Y = 0,5117

Среднее действительно сдвигается: E(Y) = 0,5·1,45 + 5 = 5,725.

5.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,1587

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение суммы

μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6,403 s

Стандартизуйте

z = (111,4 − 105)/6,403 = 1

Верхний хвост

P = 1 − Φ(1) = 1 − 0,8413 = 0,1587

Ответ

P = 0,1587

6.Нормальное распределение

Ответ: x = 261,6 g

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z для процентиля

Φ(z) = 0,99 → z = 2,326

Обратно к x

x = 250 + 2,326·5 = 261,63 g

Ответ

x = 261,63 g

7.Доверительные интервалы

Ответ: верхняя граница = 16,56

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 9, t = 3,25

Предельная ошибка

E = 3,25·2/√10 = 2,055

Интервал

14,5 ± 2,055 → [12,44, 16,56]

Ответ

верхняя граница = 16,56

8.Доверительные интервалы

Ответ: n = 40373

Выразите n

n = (2,576·39/0,5)² = 40372

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 40373

Ответ

n = 40373

9.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = 2,099

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Стандартная ошибка средней разности

SE = 3,3/√12 = 0,9526

Статистика критерия

t = 2/0,9526 = 2,099

Ответ

t = 2,099

При df = 11 двустороннее критическое значение на уровне 5 % равно 2,201; |t| меньше, поэтому H₀ не отвергается.

10.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: z = −1,13

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Выборочные доли

p̂₁ = 98/150 = 0,6533

p̂₂ = 142/200 = 0,71

p̂ = 240/350 = 0,6857

Стандартная ошибка при H₀

SE = √(0,6857·0,3143·(1/150 + 1/200)) = 0,05014

Статистика критерия

z = (0,6533 − 0,71)/0,05014 = −1,13

Ответ

z = −1,13

|z| < 1.96, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

11.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = −0,9596

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Центрированные суммы

S_xy = 245 − 15·88/5 = −19

S_xx = 55 − 15²/5 = 10

S_yy = 1588 − 88²/5 = 39,2

Коэффициент корреляции

r = −19/√(10·39,2) = −0,9596

Ответ

r = −0,9596

12.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: ŷ = 49,4

Средние

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 359/6 = 59,83

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 365

Линия регрессии

b = 365/70 = 5,214

a = 59,83 − 5,214·7 = 23,33

ŷ = 23,33 + 5,214·x

Прогноз

ŷ = 23,33 + 5,214·5 = 49,4

Ответ

ŷ = 49,4

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1