Основы статистики: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 57, 60, 39, 14, 18, 56.

n = 6

s =

2.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 100 и стандартным отклонением 5. Какая доля P значений больше 105?

μ = 100σ = 5x = 105

P =

3.ВероятностьСредняя

Для показанного распределения найдите стандартное отклонение σ величины X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,05, 0,35, 0,35, 0,25

σ =

4.ВероятностьСложная

X имеет показанное распределение, а Y = 0,5X + 1. Найдите стандартное отклонение σ_Y величины Y.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,15, 0,1, 0,3, 0,35, 0,1Y = 0,5X + 1

σ_Y =

5.Нормальное распределениеСредняя

Перетащите z так, чтобы закрашенная площадь под стандартной нормальной кривой справа от z была равна 0,8554. Найдите z с точностью до двух знаков.

A = 0,8554

z =

6.Нормальное распределениеСложная

Распределение «значения роста взрослых мужчин» нормальное: среднее 178 cm, стандартное отклонение 7 cm. Перетащите границу так, чтобы закрашенные верхние 85% были справа от неё. Найдите границу x.

μ = 178 cmσ = 7 cm85%

x = cm

7.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 9 элементов имеет среднее 67 и стандартное отклонение s = 19,5. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите верхнюю границу 95 % доверительного интервала для среднего.

n = 9x̄ = 67s = 19,595%t(8) = 2,306

верхняя граница =

8.Доверительные интервалыСложная

О доле бракованных изделий заранее ничего не известно. Сколько изделий n нужно проверить, чтобы 99 % доверительный интервал для доли имел предельную ошибку не более 0,025?

p = 0,5E = 0,02599%

n =

9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Сравниваются два метода обучения. Группа 1: 10 студентов, средний балл 102, стандартное отклонение 8. Группа 2: 12 студентов, средний балл 111,6, стандартное отклонение 8. Считайте дисперсии генеральных совокупностей равными и используйте двухвыборочный t-критерий с объединённой дисперсией. Найдите статистику критерия t для H₀: μ₁ = μ₂, принимая разность как x̄₁ − x̄₂ (группа 1 минус группа 2).

n₁ = 10x̄₁ = 102s₁ = 8n₂ = 12x̄₂ = 111,6s₂ = 8

t =

10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Односторонний z-критерий при α = 0,01 должен обнаруживать сдвиг среднего на 5 единиц с мощностью 90 %. Стандартное отклонение равно 28. Найдите минимальный объём выборки n.

α = 0,01мощность = 90%δ = 5σ = 28z_α = 2,326z_β = 1,282

n =

11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 6 пар наблюдений x = часов подготовки и y = балл за экзамен. Найдите коэффициент детерминации r² прямой наименьших квадратов.

n = 6

r² =

12.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 6 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Получено новое наблюдение (11, 31). Найдите его остаток e = y − ŷ.

n = 6(11, 31)

e =

3Растворы

1.Описательная статистика

Ответ: s = 20,51

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 244/6 = 40,67

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = 16,33² + 19,33² + (−1,667)² + (−26,67)² + (−22,67)² + 15,33² = 2103

Стандартное отклонение

s = √(2103/5) = 20,51

Ответ

s = 20,51

2.Описательная статистика

Ответ: P = 0,1587

Стандартизуйте

z = 1

Таблица нормального распределения

Φ(1) = 0,8413

P = 1 − 0,8413 = 0,1587

Ответ

P = 0,1587

3.Вероятность

Ответ: σ = 0,8718

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 0·0,05 + 1·0,35 + 2·0,35 + 3·0,25 = 1,8

Среднее квадратов

E(X²) = 0·0,05 + 1·0,35 + 4·0,35 + 9·0,25 = 4

Дисперсия

Var(X) = 4 − 1,8² = 0,76

σ = √0,76 = 0,8718

Ответ

σ = 0,8718

4.Вероятность

Ответ: σ_Y = 0,5974

Разброс X

μ = 2,15, Var(X) = 1,428, σ_X = 1,195

Линейное преобразование

σ_Y = |0,5|·1,195 = 0,5974

Ответ

σ_Y = 0,5974

Среднее действительно сдвигается: E(Y) = 0,5·2,15 + 1 = 2,075.

5.Нормальное распределение

Ответ: z = −1,06

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева от z

Φ(z) = 1 − 0,8554 = 0,1446

Читайте таблицу z в обратную сторону

Найдите 0,1446 внутри таблицы и считайте z.

z = −1,06

Ответ

z = −1,06

6.Нормальное распределение

Ответ: x = 170,7 cm

Площадь слева

Φ(z) = 0,15

z из таблицы

z ≈ −1,04

Возврат к исходным единицам

x = 178 − 1,04·7 = 170,7 cm

Ответ

x = 170,7 cm

7.Доверительные интервалы

Ответ: верхняя граница = 81,99

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 8, t = 2,306

Предельная ошибка

E = 2,306·19,5/√9 = 14,99

Интервал

67 ± 14,99 → [52,01, 81,99]

Ответ

верхняя граница = 81,99

8.Доверительные интервалы

Ответ: n = 2655

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Выразите n

n = 2,576²·0,5·0,5/0,025² = 2654

Округлите вверх

n = 2655

Ответ

n = 2655

9.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = −2,803

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Объединённая дисперсия

s_p² = (9·8² + 11·8²)/20 = 64

s_p = 8

Стандартная ошибка

SE = 8·√(1/10 + 1/12) = 3,425

Статистика критерия

t = (102 − 111,6)/3,425 = −2,803

Ответ

t = −2,803

При df = 20 двустороннее критическое значение на уровне 5 % равно 2,086; |t| больше, поэтому H₀ отвергается.

10.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: n = 409

Объём выборки для критерия: чтобы обнаружить истинный сдвиг δ с мощностью 1 − β одностронним z-критерием на уровне α, стандартная ошибка должна удовлетворять δ = (z_α + z_β)·σ/√n, поэтому n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² с округлением вверх.

Выразите n

n = ((2,326 + 1,282)·28/5)² = 408,2

Округлите вверх

n = 409

Ответ

n = 409

11.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r² = 0,972

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 36/6 = 6

ȳ = 423/6 = 70,5

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 289

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1228

Коэффициент детерминации

r² = 289²/(70·1228) = 0,972

Ответ

r² = 0,972

Прямая объясняет около 97,2% вариации y.

12.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: e = 1,962

Средние

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 118/6 = 19,67

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 164

Линия регрессии

b = 164/70 = 2,343

a = 19,67 − 2,343·7 = 3,267

ŷ = 3,267 + 2,343·x

Прогнозируемое значение

ŷ = 3,267 + 2,343·11 = 29,04

Остаток

e = 31 − 29,04 = 1,962

Ответ

e = 1,962

Точка лежит выше прямой.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1