Основы статистики: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 37, 29, 22, 60, 38, 11, 56.

n = 7

s =

2.Описательная статистикаСложная

Баллы за экзамен распределены нормально со средним 500 и стандартным отклонением 40. Найдите z-оценку z для результата 516.

μ = 500σ = 40x = 516

z =

3.ВероятностьСредняя

Для показанного распределения найдите дисперсию Var(X) величины X.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,3, 0,15, 0,25, 0,3

Var(X) =

4.ВероятностьСложная

X имеет показанное распределение, а Y = 0,5X + 4. Найдите стандартное отклонение σ_Y величины Y.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,25, 0,25, 0,15, 0,35Y = 0,5X + 4

σ_Y =

5.Нормальное распределениеСредняя

X нормальна со средним 12 min и стандартным отклонением 1,5 min; Y независима и нормальна со средним 20 min и стандартным отклонением 2 min. Найдите вероятность P того, что X + Y больше 30 min. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ_X = 12, σ_X = 1,5μ_Y = 20, σ_Y = 2X + Y > 30 min

P =

6.Нормальное распределениеСложная

Распределение «сроки службы батареек» нормальное: среднее 500 h, стандартное отклонение 40 h. Перетащите границу так, чтобы закрашенные нижние 40% были слева от неё. Найдите границу x.

μ = 500 hσ = 40 h40%

x = h

7.Доверительные интервалыСредняя

Сравнивается время работы аккумулятора двух моделей телефонов. Модель 1: 50 телефонов, среднее 42,5 h, известное стандартное отклонение 17 h. Модель 2: 40 телефонов, среднее 35 h, известное стандартное отклонение 9 h. Найдите предельную ошибку E 90 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.

n₁ = 50x̄₁ = 42,5 hσ₁ = 17 hn₂ = 40x̄₂ = 35 hσ₂ = 9 h90%

E = h

8.Доверительные интервалыСложная

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 38. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 95 % доверительного интервала для среднего не превышала 2,5?

σ = 38E = 2,595%

n =

9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 25 студентов имеет средний балл 77,4 и выборочное стандартное отклонение 5. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 77,4s = 5n = 25

t =

10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

В исследовании выздоравливают 50 из 200 пациентов, получавших лечение A, и 70 из 250 пациентов, получавших лечение B. Используя объединённую долю, найдите статистику критерия z для H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 50n₁ = 200x₂ = 70n₂ = 250

z =

11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 6 пар наблюдений x = часов подготовки и y = балл за экзамен. Даны их суммы. Найдите по этим суммам коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 6Σx = 27Σy = 457Σx² = 139Σy² = 35399Σxy = 2152

r =

12.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 6 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. При каком значении x прямая прогнозирует ŷ = 37?

n = 6ŷ = 37

x =

3Растворы

1.Описательная статистика

Ответ: s = 17,56

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 253/7 = 36,14

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = 0,8571² + (−7,143)² + (−14,14)² + 23,86² + 1,857² + (−25,14)² + 19,86² = 1851

Стандартное отклонение

s = √(1851/6) = 17,56

Ответ

s = 17,56

2.Описательная статистика

Ответ: z = 0,4

Стандартизуйте

z = (516 − 500)/40 = 0,4

Ответ

z = 0,4

3.Вероятность

Ответ: Var(X) = 1,447

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 1·0,3 + 2·0,15 + 3·0,25 + 4·0,3 = 2,55

Среднее квадратов

E(X²) = 1·0,3 + 4·0,15 + 9·0,25 + 16·0,3 = 7,95

Дисперсия

Var(X) = 7,95 − 2,55² = 1,447

Ответ

Var(X) = 1,447

4.Вероятность

Ответ: σ_Y = 0,6

Разброс X

μ = 1,6, Var(X) = 1,44, σ_X = 1,2

Линейное преобразование

σ_Y = |0,5|·1,2 = 0,6

Ответ

σ_Y = 0,6

Среднее действительно сдвигается: E(Y) = 0,5·1,6 + 4 = 4,8.

5.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,7881

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение суммы

μ = 32 min, σ = √(1,5² + 2²) = 2,5 min

Стандартизуйте

z = (30 − 32)/2,5 = −0,8

Верхний хвост

P = 1 − Φ(−0,8) = 1 − 0,2119 = 0,7881

Ответ

P = 0,7881

6.Нормальное распределение

Ответ: x = 490 h

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева

Φ(z) = 0,4

z из таблицы

z ≈ −0,25

Возврат к исходным единицам

x = 500 − 0,25·40 = 490 h

Ответ

x = 490 h

7.Доверительные интервалы

Ответ: E = 4,596 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Точечная оценка

x̄₁ − x̄₂ = 42,5 − 35 = 7,5

Стандартная ошибка

SE = √(17²/50 + 9²/40) = 2,794

Предельная ошибка

E = 1,645·2,794 = 4,596

Ответ

E = 4,596 h

Интервал не содержит 0, поэтому средние значимо различаются.

8.Доверительные интервалы

Ответ: n = 888

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Выразите n

n = (1,96·38/2,5)² = 887,6

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 888

Ответ

n = 888

9.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = 2,4

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 5/√25 = 5/5 = 1

Статистика критерия

t = (77,4 − 75)/1 = 2,4

Ответ

t = 2,4

t_{0,025; df = 24} = 2,064

|t| > 2,064, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

10.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: z = −0,7151

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Выборочные доли

p̂₁ = 50/200 = 0,25

p̂₂ = 70/250 = 0,28

p̂ = 120/450 = 0,2667

Стандартная ошибка при H₀

SE = √(0,2667·0,7333·(1/200 + 1/250)) = 0,04195

Статистика критерия

z = (0,25 − 0,28)/0,04195 = −0,7151

Ответ

z = −0,7151

|z| < 1.96, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

11.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,9392

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Центрированные суммы

S_xy = 2152 − 27·457/6 = 95,5

S_xx = 139 − 27²/6 = 17,5

S_yy = 35399 − 457²/6 = 590,8

Коэффициент корреляции

r = 95,5/√(17,5·590,8) = 0,9392

Ответ

r = 0,9392

12.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: x = 2,606

Средние

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 243/6 = 40,5

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 68,5

Линия регрессии

b = 68,5/17,5 = 3,914

a = 40,5 − 3,914·3,5 = 26,8

ŷ = 26,8 + 3,914·x

Найдите x

x = (37 − 26,8)/3,914 = 2,606

Ответ

x = 2,606

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1