Основы статистики: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 39, 19, 36, 25, 46, 13, 23.

n = 7

s =

2.Описательная статистикаСложная

Баллы за экзамен распределены нормально со средним 500 и стандартным отклонением 60. Найдите z-оценку z для результата 470.

μ = 500σ = 60x = 470

z =

3.ВероятностьСредняя

В мешочке 6 красных и 9 синих шаров. Вы вынимаете два шара, не возвращая первый. Какова вероятность P, что оба красные?

6 / 9

P =

4.ВероятностьСложная

X имеет показанное распределение, а Y = 0,5X + 1. Найдите стандартное отклонение σ_Y величины Y.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,05, 0,35, 0,3, 0,3Y = 0,5X + 1

σ_Y =

5.Нормальное распределениеСредняя

Пусть сроки службы батареек распределены нормально со средним 500 h и стандартным отклонением 40 h. Какая доля значений лежит между 502 и 548 h? Дайте P в виде десятичной дроби.

μ = 500σ = 40x₁ = 502x₂ = 548

P =

6.Нормальное распределениеСложная

Пусть баллы за экзамен распределены нормально со средним 65 баллов и стандартным отклонением 10 баллов. Найдите значение x, ниже которого лежат 25 % значений (25-й процентиль).

μ = 65σ = 10P = 25%

x = баллов

7.Доверительные интервалыСредняя

90 % доверительный интервал для среднего, построенный по 64 наблюдениям при известном σ, имеет предельную ошибку 5,1. Какой будет предельная ошибка E₂, если в том же исследовании использовать 128 наблюдений?

90%n₁ = 64E₁ = 5,1n₂ = 128

E₂ =

8.Доверительные интервалыСложная

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 38. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 99 % доверительного интервала для среднего не превышала 3?

σ = 38E = 399%

n =

9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Сравниваются два метода обучения. Группа 1: 7 студентов, средний балл 61, стандартное отклонение 6. Группа 2: 5 студентов, средний балл 55,4, стандартное отклонение 11,5. Считайте дисперсии генеральных совокупностей равными и используйте двухвыборочный t-критерий с объединённой дисперсией. Найдите статистику критерия t для H₀: μ₁ = μ₂, принимая разность как x̄₁ − x̄₂ (группа 1 минус группа 2).

n₁ = 7x̄₁ = 61s₁ = 6n₂ = 5x̄₂ = 55,4s₂ = 11,5

t =

10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

В исследовании выздоравливают 195 из 300 пациентов, получавших лечение A, и 193 из 250 пациентов, получавших лечение B. Используя объединённую долю, найдите статистику критерия z для H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 195n₁ = 300x₂ = 193n₂ = 250

z =

11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 6 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Найдите коэффициент детерминации r² прямой наименьших квадратов.

n = 6

r² =

12.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 5 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Получено новое наблюдение (2,5, 16). Найдите его остаток e = y − ŷ.

n = 5(2,5, 16)

e =

3Растворы

1.Описательная статистика

Ответ: s = 11,87

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 201/7 = 28,71

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = 10,29² + (−9,714)² + 7,286² + (−3,714)² + 17,29² + (−15,71)² + (−5,714)² = 845,4

Стандартное отклонение

s = √(845,4/6) = 11,87

Ответ

s = 11,87

2.Описательная статистика

Ответ: z = −0,5

Стандартизуйте

z = (470 − 500)/60 = −0,5

Ответ

z = −0,5

3.Вероятность

Ответ: P = 0,1429

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Первое и второе извлечение

P = 6/15 · 5/14 = 30/210 = 0,1429

Ответ

P = 0,1429

4.Вероятность

Ответ: σ_Y = 4,548

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Разброс X

μ = 28,5, Var(X) = 82,75, σ_X = 9,097

Линейное преобразование

σ_Y = |0,5|·9,097 = 4,548

Ответ

σ_Y = 4,548

Среднее действительно сдвигается: E(Y) = 0,5·28,5 + 1 = 15,25.

5.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,365

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z-оценки

z₁ = (502 − 500)/40 = 0,05

z₂ = (548 − 500)/40 = 1,2

Площадь между

P = Φ(1,2) − Φ(0,05) = 0,8849 − 0,5199 = 0,365

Ответ

P = 0,365

6.Нормальное распределение

Ответ: x = 58,26 баллов

z для процентиля

Φ(z) = 0,25 → z = −0,6745

Обратно к x

x = 65 + −0,6745·10 = 58,26 баллов

Ответ

x = 58,26 баллов

7.Доверительные интервалы

Ответ: E₂ = 3,606

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Отношение предельных ошибок

E₂/E₁ = (1,645/1,645)·√(64/128) = 0,7071

Новая предельная ошибка

E₂ = 5,1·0,7071 = 3,606

Ответ

E₂ = 3,606

8.Доверительные интервалы

Ответ: n = 1065

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Выразите n

n = (2,576·38/3)² = 1065

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 1065

Ответ

n = 1065

9.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = 1,108

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Объединённая дисперсия

s_p² = (6·6² + 4·11,5²)/10 = 74,5

s_p = 8,631

Стандартная ошибка

SE = 8,631·√(1/7 + 1/5) = 5,054

Статистика критерия

t = (61 − 55,4)/5,054 = 1,108

Ответ

t = 1,108

При df = 10 двустороннее критическое значение на уровне 5 % равно 2,228; |t| меньше, поэтому H₀ не отвергается.

10.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: z = −3,125

Выборочные доли

p̂₁ = 195/300 = 0,65

p̂₂ = 193/250 = 0,772

p̂ = 388/550 = 0,7055

Стандартная ошибка при H₀

SE = √(0,7055·0,2945·(1/300 + 1/250)) = 0,03904

Статистика критерия

z = (0,65 − 0,772)/0,03904 = −3,125

Ответ

z = −3,125

|z| > 1,96, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

11.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r² = 0,9957

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 123/6 = 20,5

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 223

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 713,5

Коэффициент детерминации

r² = 223²/(70·713,5) = 0,9957

Ответ

r² = 0,9957

Прямая объясняет около 99,57% вариации y.

12.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: e = −3,1

Средние

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 89/5 = 17,8

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −26

Линия регрессии

b = −26/10 = −2,6

a = 17,8 − (−2,6)·3 = 25,6

ŷ = 25,6 − 2,6·x

Прогнозируемое значение

ŷ = 25,6 + (−2,6)·2,5 = 19,1

Остаток

e = 16 − 19,1 = −3,1

Ответ

e = −3,1

Точка лежит ниже прямой.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1