Основы статистики: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 35, 58, 51, 44, 41, 48, 43.

n = 7

s =

2.Описательная статистикаСложная

Баллы за экзамен распределены нормально со средним 100 и стандартным отклонением 5. Найдите z-оценку z для результата 102.

μ = 100σ = 5x = 102

z =

3.ВероятностьСредняя

Для показанного распределения найдите дисперсию Var(X) величины X.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,3, 0,15, 0,3, 0,25

Var(X) =

4.ВероятностьСложная

В тесте 5 вопросов с вариантами ответов. Студентка, которая угадывает, отвечает верно на каждый с вероятностью 0,4, независимо. Какова вероятность P ровно 4 верных ответов?

n = 5p = 0,4k = 4

P =

5.Нормальное распределениеСредняя

X нормальна со средним 12 min и стандартным отклонением 1,5 min; Y независима и нормальна со средним 20 min и стандартным отклонением 2 min. Найдите вероятность P того, что X + Y больше 34,5 min. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ_X = 12, σ_X = 1,5μ_Y = 20, σ_Y = 2X + Y > 34,5 min

P =

6.Нормальное распределениеСложная

Распределение «результаты IQ-тестов» нормальное: среднее 100 баллов, стандартное отклонение 15 баллов. Перетащите границу так, чтобы закрашенные верхние 75% были справа от неё. Найдите границу x.

μ = 100 балловσ = 15 баллов75%

x = баллов

7.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 21 элементов имеет среднее 59 и стандартное отклонение s = 11. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите верхнюю границу 99 % доверительного интервала для среднего.

n = 21x̄ = 59s = 1199%t(20) = 2,845

верхняя граница =

8.Доверительные интервалыСложная

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 12. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 99 % доверительного интервала для среднего не превышала 3?

σ = 12E = 399%

n =

9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Две производственные линии изготавливают одну и ту же деталь. Линия 1: выборка из 100 деталей имеет среднюю длину 46 mm, известное стандартное отклонение линии 4 mm. Линия 2: выборка из 30 деталей имеет среднее 35,7 mm, известное стандартное отклонение 20 mm. Найдите статистику критерия z для H₀: μ₁ = μ₂, принимая разность как x̄₁ − x̄₂ (линия 1 минус линия 2).

n₁ = 100x̄₁ = 46 mmσ₁ = 4 mmn₂ = 30x̄₂ = 35,7 mmσ₂ = 20 mm

z =

10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Односторонний z-критерий при α = 0,01 должен обнаруживать сдвиг среднего на 1 единиц с мощностью 90 %. Стандартное отклонение равно 6. Найдите минимальный объём выборки n.

α = 0,01мощность = 90%δ = 1σ = 6z_α = 2,326z_β = 1,282

n =

11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 5 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Даны их суммы. Найдите по этим суммам коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 5Σx = 30Σy = 66Σx² = 220Σy² = 1018Σxy = 470

r =

12.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 5 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Спрогнозируйте ŷ при x = 26,5.

n = 5x = 26,5

ŷ =

3Растворы

1.Описательная статистика

Ответ: s = 7,432

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 320/7 = 45,71

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = (−10,71)² + 12,29² + 5,286² + (−1,714)² + (−4,714)² + 2,286² + (−2,714)² = 331,4

Стандартное отклонение

s = √(331,4/6) = 7,432

Ответ

s = 7,432

2.Описательная статистика

Ответ: z = 0,4

Стандартизуйте

z = (102 − 100)/5 = 0,4

Ответ

z = 0,4

3.Вероятность

Ответ: Var(X) = 1,35

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 1·0,3 + 2·0,15 + 3·0,3 + 4·0,25 = 2,5

Среднее квадратов

E(X²) = 1·0,3 + 4·0,15 + 9·0,3 + 16·0,25 = 7,6

Дисперсия

Var(X) = 7,6 − 2,5² = 1,35

Ответ

Var(X) = 1,35

4.Вероятность

Ответ: P = 0,0768

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Формула Бернулли

P(X = 4) = 5·0,4⁴·0,6¹ = 5·0,0256·0,6 = 0,0768

Ответ

P = 0,0768

5.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,1587

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение суммы

μ = 32 min, σ = √(1,5² + 2²) = 2,5 min

Стандартизуйте

z = (34,5 − 32)/2,5 = 1

Верхний хвост

P = 1 − Φ(1) = 1 − 0,8413 = 0,1587

Ответ

P = 0,1587

6.Нормальное распределение

Ответ: x = 90 баллов

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева

Φ(z) = 0,25

z из таблицы

z ≈ −0,67

Возврат к исходным единицам

x = 100 − 0,67·15 = 90 баллов

Ответ

x = 90 баллов

7.Доверительные интервалы

Ответ: верхняя граница = 65,83

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 20, t = 2,845

Предельная ошибка

E = 2,845·11/√21 = 6,829

Интервал

59 ± 6,829 → [52,17, 65,83]

Ответ

верхняя граница = 65,83

8.Доверительные интервалы

Ответ: n = 107

Выразите n

n = (2,576·12/3)² = 106,2

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 107

Ответ

n = 107

9.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: z = 2,804

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Стандартная ошибка разности

SE = √(4²/100 + 20²/30) = √13,49 = 3,673

Статистика критерия

z = (46 − 35,7)/3,673 = 2,804

Ответ

z = 2,804

|z| > 1,96, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

10.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: n = 469

Объём выборки для критерия: чтобы обнаружить истинный сдвиг δ с мощностью 1 − β одностронним z-критерием на уровне α, стандартная ошибка должна удовлетворять δ = (z_α + z_β)·σ/√n, поэтому n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² с округлением вверх.

Выразите n

n = ((2,326 + 1,282)·6/1)² = 468,6

Округлите вверх

n = 469

Ответ

n = 469

11.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,9657

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Центрированные суммы

S_xy = 470 − 30·66/5 = 74

S_xx = 220 − 30²/5 = 40

S_yy = 1018 − 66²/5 = 146,8

Коэффициент корреляции

r = 74/√(40·146,8) = 0,9657

Ответ

r = 0,9657

12.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: ŷ = 145,9

Средние

x̄ = 110/5 = 22

ȳ = 578/5 = 115,6

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 606

Линия регрессии

b = 606/90 = 6,733

a = 115,6 − 6,733·22 = −32,53

ŷ = −32,53 + 6,733·x

Прогноз

ŷ = −32,53 + 6,733·26,5 = 145,9

Ответ

ŷ = 145,9

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1