Основы статистики: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 36, 58, 40, 48, 21, 13.

n = 6

s =

2.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 170 и стандартным отклонением 12. Какая доля P значений больше 146?

μ = 170σ = 12x = 146

P =

3.ВероятностьСредняя

Для показанного распределения найдите дисперсию Var(X) величины X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,15, 0,15, 0,35, 0,35

Var(X) =

4.ВероятностьСложная

Испытывают 8 компонентов, каждый выходит из строя независимо с вероятностью 0,1. Какова вероятность P, что откажет не более одного?

n = 8p = 0,1

P =

5.Нормальное распределениеСредняя

Пусть значения роста взрослых мужчин распределены нормально со средним 178 cm и стандартным отклонением 7 cm. Какая доля значений лежит между 172,75 и 192 cm? Дайте P в виде десятичной дроби.

μ = 178σ = 7x₁ = 172,75x₂ = 192

P =

6.Нормальное распределениеСложная

Пусть баллы за экзамен распределены нормально со средним 65 баллов и стандартным отклонением 10 баллов. Найдите значение x, ниже которого лежат 5 % значений (5-й процентиль).

μ = 65σ = 10P = 5%

x = баллов

7.Доверительные интервалыСредняя

95 % доверительный интервал для среднего, построенный по 100 наблюдениям при известном σ, имеет предельную ошибку 10. Какой будет предельная ошибка E₂ 90 % интервала по тем же данным?

95%n₁ = 100E₁ = 1090%

E₂ =

8.Доверительные интервалыСложная

Диаметры 15 обработанных валов имеют выборочное стандартное отклонение 5,1 µm. Считая диаметры нормально распределёнными, найдите границу 95 % доверительного интервала для стандартного отклонения генеральной совокупности — нижняя граница σ. При df = 14 2,5 % распределения χ² лежит ниже 5,629 и 2,5 % — выше 26,119.

n = 15s = 5,1 µmχ² = 5,629, 26,119

σ = µm

9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Сравниваются два метода обучения. Группа 1: 8 студентов, средний балл 79, стандартное отклонение 7,5. Группа 2: 6 студентов, средний балл 87,1, стандартное отклонение 8,5. Считайте дисперсии генеральных совокупностей равными и используйте двухвыборочный t-критерий с объединённой дисперсией. Найдите статистику критерия t для H₀: μ₁ = μ₂, принимая разность как x̄₁ − x̄₂ (группа 1 минус группа 2).

n₁ = 8x̄₁ = 79s₁ = 7,5n₂ = 6x̄₂ = 87,1s₂ = 8,5

t =

10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Односторонний z-критерий при α = 0,01 должен обнаруживать сдвиг среднего на 5 единиц с мощностью 80 %. Стандартное отклонение равно 22. Найдите минимальный объём выборки n.

α = 0,01мощность = 80%δ = 5σ = 22z_α = 2,326z_β = 0,842

n =

11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 5 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Найдите коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 5

r =

12.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 5 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. При каком значении x прямая прогнозирует ŷ = 59?

n = 5ŷ = 59

x =

3Растворы

1.Описательная статистика

Ответ: s = 16,72

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 216/6 = 36

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = 0² + 22² + 4² + 12² + (−15)² + (−23)² = 1398

Стандартное отклонение

s = √(1398/5) = 16,72

Ответ

s = 16,72

2.Описательная статистика

Ответ: P = 0,9772

Стандартизуйте

z = −2

Таблица нормального распределения

Φ(−2) = 0,02275

P = 1 − 0,02275 = 0,9772

Ответ

P = 0,9772

3.Вероятность

Ответ: Var(X) = 1,09

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 0·0,15 + 1·0,15 + 2·0,35 + 3·0,35 = 1,9

Среднее квадратов

E(X²) = 0·0,15 + 1·0,15 + 4·0,35 + 9·0,35 = 4,7

Дисперсия

Var(X) = 4,7 − 1,9² = 1,09

Ответ

Var(X) = 1,09

4.Вероятность

Ответ: P = 0,8131

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Ноль и один отказ

P(X = 0) = 0,9⁸ = 0,4305

P(X = 1) = 8·0,1·0,9⁷ = 0,3826

Сложите

P = 0,4305 + 0,3826 = 0,8131

Ответ

P = 0,8131

5.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,7506

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z-оценки

z₁ = (172,75 − 178)/7 = −0,75

z₂ = (192 − 178)/7 = 2

Площадь между

P = Φ(2) − Φ(−0,75) = 0,9772 − 0,2266 = 0,7506

Ответ

P = 0,7506

6.Нормальное распределение

Ответ: x = 48,55 баллов

z для процентиля

Φ(z) = 0,05 → z = −1,645

Обратно к x

x = 65 + −1,645·10 = 48,55 баллов

Ответ

x = 48,55 баллов

7.Доверительные интервалы

Ответ: E₂ = 8,393

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Отношение предельных ошибок

E₂/E₁ = (1,645/1,96)·√(100/100) = 0,8393

Новая предельная ошибка

E₂ = 10·0,8393 = 8,393

Ответ

E₂ = 8,393

8.Доверительные интервалы

Ответ: σ = 3,734 µm

Интервал для дисперсии: (n − 1)s²/σ² имеет распределение χ² с n − 1 степенями свободы. 95 % интервал для σ² простирается от (n − 1)s², делённого на верхнее значение χ² (выше него 2,5 %), до (n − 1)s², делённого на нижнее значение χ² (ниже него 2,5 %); интервал для σ получают извлечением квадратного корня из обеих границ. Он несимметричен относительно s.

Сумма квадратов

(n − 1)s² = 14·5,1² = 364,1

Границы для σ²

364,1/26,119 = 13,94

364,1/5,629 = 64,69

Граница для σ

σ = √13,94 = 3,734 µm

Ответ

σ = 3,734 µm

95 % интервал для σ: [3,734, 8,043] µm.

9.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = −1,891

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Объединённая дисперсия

s_p² = (7·7,5² + 5·8,5²)/12 = 62,92

s_p = 7,932

Стандартная ошибка

SE = 7,932·√(1/8 + 1/6) = 4,284

Статистика критерия

t = (79 − 87,1)/4,284 = −1,891

Ответ

t = −1,891

При df = 12 двустороннее критическое значение на уровне 5 % равно 2,179; |t| меньше, поэтому H₀ не отвергается.

10.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: n = 195

Объём выборки для критерия: чтобы обнаружить истинный сдвиг δ с мощностью 1 − β одностронним z-критерием на уровне α, стандартная ошибка должна удовлетворять δ = (z_α + z_β)·σ/√n, поэтому n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² с округлением вверх.

Выразите n

n = ((2,326 + 0,842)·22/5)² = 194,3

Округлите вверх

n = 195

Ответ

n = 195

11.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,9811

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 110/5 = 22

ȳ = 315/5 = 63

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 282

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 918

Коэффициент корреляции

r = 282/√(90·918) = 0,9811

Ответ

r = 0,9811

12.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: x = 18,43

Средние

x̄ = 115/5 = 23

ȳ = 388/5 = 77,6

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 366

Линия регрессии

b = 366/90 = 4,067

a = 77,6 − 4,067·23 = −15,93

ŷ = −15,93 + 4,067·x

Найдите x

x = (59 − (−15,93))/4,067 = 18,43

Ответ

x = 18,43

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1