Описательная статистика
- Среднее
- x̄ = Σx/n
- Выборочное стандартное отклонение
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Медиана
- срединное значение упорядоченных данных
- z-оценка
- z = (x − μ)/σ
- Нормальное распределение
- 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ
Основы статистики: шпаргалка-пакет
Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.
1Формулы и методы
Вероятность
- Противоположное событие
- P(not A) = 1 − P(A)
- Правило сложения
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Независимые события
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Условная вероятность
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Биномиальное распределение
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Нормальное распределение
- z-оценка
- z = (x − μ)/σ
- Меньше x
- P(X < x) = Φ(z)
- Больше x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Между
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Процентиль
- x = μ + z·σ
Метод
- Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
- Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
- Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
- Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.
Доверительные интервалы
- σ известно
- x̄ ± z·σ/√n
- σ неизвестно
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Критическое значение z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Объём выборки
- n = (z·σ/E)², rounded up
Метод
- Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
- Найдите критическое значение для уровня доверия.
- Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
- Интервал: x̄ ± E.
Проверка гипотез и доверительные интервалы
- z-тест для среднего
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- t-тест для среднего
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Двусторонний на уровне 5%
- отвергните H0, если |z| > 1,96
- Доверительный интервал
- x̄ ± z·σ/√n
Метод
- Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
- Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
- Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
- Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.
Линейная регрессия и корреляция
- Суммы квадратов
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Угловой коэффициент
- b = Sxy/Sxx
- Свободный член
- a = ȳ − b·x̄
- Корреляция
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Остаток
- e = y − ŷ
2Тренировочные задачи
1.Описательная статистикаСредняя
Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 46, 16, 44, 57, 54, 48, 50.
n = 7
s =
2.Описательная статистикаСложная
Величина распределена нормально со средним 70 и стандартным отклонением 12. Какая доля P значений больше 88?
μ = 70σ = 12x = 88
P =
3.ВероятностьСредняя
Правильный кубик бросают 4 раз. Какова вероятность P выбросить хотя бы одну шестёрку?
n = 4
P =
4.ВероятностьСложная
Игра стоит €3. Вы выигрываете €15 с вероятностью 0,2 и €150 с вероятностью 0,05; в остальных случаях вы ничего не выигрываете. Ставка не возвращается. Найдите ожидаемый чистый выигрыш E(G) за одну игру.
ставка = €3€15: p = 0,2€150: p = 0,05
E(G) = €
5.Нормальное распределениеСредняя
X нормальна со средним 12 min и стандартным отклонением 1,5 min; Y независима и нормальна со средним 20 min и стандартным отклонением 2 min. Найдите вероятность P того, что X + Y больше 37 min. Округлите z до двух знаков после запятой.
μX = 12, σX = 1,5μY = 20, σY = 2X + Y > 37 min
P =
6.Нормальное распределениеСложная
Распределение «результаты IQ-тестов» нормальное: среднее 100 баллов, стандартное отклонение 15 баллов. Перетащите границу так, чтобы закрашенные верхние 5% были справа от неё. Найдите границу x.
μ = 100 балловσ = 15 баллов5%
x = баллов
7.Доверительные интервалыСредняя
Выборка из 10 элементов имеет среднее 111 и стандартное отклонение s = 13,5. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите предельную ошибку E 95 % доверительного интервала для среднего.
n = 10x̄ = 111s = 13,595%t(9) = 2,262
E =
8.Доверительные интервалыСложная
Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 34. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 95 % доверительного интервала для среднего не превышала 2,5?
σ = 34E = 2,595%
n =
9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
15 сотрудников проходят тест на скорость печати до и после обучающего курса. Для каждого записывается разность d = после − до (слов в минуту). Средняя разность равна 2,28, стандартное отклонение разностей — 5,2. Найдите статистику парного критерия t для H₀: μd = 0.
n = 15d̄ = 2,28sd = 5,2
t =
10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
Выборка из 49 измерений имеет среднее 117,1. Стандартное отклонение генеральной совокупности — 8. Найдите верхнюю границу U 95 % доверительного интервала для среднего.
x̄ = 117,1σ = 8n = 4995%
U =
11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя
В таблице даны 6 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Даны их суммы. Найдите по этим суммам коэффициент корреляции Пирсона r.
n = 6Σx = 42Σy = 189Σx² = 364Σy² = 6945Σxy = 1586
r =
12.Линейная регрессия и корреляцияСложная
В таблице даны 6 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Получено новое наблюдение (4, 61). Найдите его остаток e = y − ŷ.
n = 6(4, 61)
e =
3Растворы
1.Описательная статистика
Ответ: s = 13,55
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Среднее
x̄ = 315/7 = 45
Квадраты отклонений
Σ(x − x̄)² = 1² + (−29)² + (−1)² + 12² + 9² + 3² + 5² = 1102
Стандартное отклонение
s = √(1102/6) = 13,55
Ответ
s = 13,55
2.Описательная статистика
Ответ: P = 0,06681
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Стандартизуйте
z = 1,5
Таблица нормального распределения
Φ(1,5) = 0,9332
P = 1 − 0,9332 = 0,06681
Ответ
P = 0,06681
3.Вероятность
Ответ: P = 0,5177
Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Противоположное событие
P(нет шестёрки) = (5/6)4 = 0,4823
P = 1 − 0,4823 = 0,5177
Ответ
P = 0,5177
4.Вероятность
Ответ: E(G) = 7,5 €
Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σY = |a|·σX; прибавление константы не меняет разброс.
Чистые исходы
G: 12 (p = 0,2), 147 (p = 0,05), −3 (p = 0,75)
Математическое ожидание
E(G) = 12·0,2 + 147·0,05 − 3·0,75 = 7,5 €
Ответ
E(G) = 7,5 €
Положительное значение означает, что в среднем вы выигрываете деньги.
5.Нормальное распределение
Ответ: P = 0,02275
Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σX² + σY², поэтому σ = √(σX² + σY²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).
Распределение суммы
μ = 32 min, σ = √(1,5² + 2²) = 2,5 min
Стандартизуйте
z = (37 − 32)/2,5 = 2
Верхний хвост
P = 1 − Φ(2) = 1 − 0,9772 = 0,02275
Ответ
P = 0,02275
6.Нормальное распределение
Ответ: x = 124,6 баллов
От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.
Площадь слева
Φ(z) = 0,95
z из таблицы
z ≈ 1,64
Возврат к исходным единицам
x = 100 + 1,64·15 = 124,6 баллов
Ответ
x = 124,6 баллов
7.Доверительные интервалы
Ответ: E = 9,657
Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.
Критическое значение
df = n − 1 = 9, t = 2,262
Предельная ошибка
E = 2,262·13,5/√10 = 9,657
Ответ
E = 9,657
8.Доверительные интервалы
Ответ: n = 711
Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.
Выразите n
n = (1,96·34/2,5)² = 710,5
Округлите вверх
Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.
n = 711
Ответ
n = 711
9.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: t = 1,698
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Стандартная ошибка средней разности
SE = 5,2/√15 = 1,343
Статистика критерия
t = 2,28/1,343 = 1,698
Ответ
t = 1,698
При df = 14 двустороннее критическое значение на уровне 5 % равно 2,145; |t| меньше, поэтому H₀ не отвергается.
10.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: U = 119,3
Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).
Предельная ошибка
E = 1,96·8/√49 = 2,24
Граница интервала
U = 117,1 + 2,24 = 119,3
Ответ
U = 119,3
11.Линейная регрессия и корреляция
Ответ: r = 0,9983
Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.
Центрированные суммы
Sxy = 1586 − 42·189/6 = 263
Sxx = 364 − 42²/6 = 70
Syy = 6945 − 189²/6 = 991,5
Коэффициент корреляции
r = 263/√(70·991,5) = 0,9983
Ответ
r = 0,9983
12.Линейная регрессия и корреляция
Ответ: e = 5,067
Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.
Средние
x̄ = 36/6 = 6
ȳ = 410/6 = 68,33
Суммы квадратов и произведений
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 434
Линия регрессии
b = 434/70 = 6,2
a = 68,33 − 6,2·6 = 31,13
ŷ = 31,13 + 6,2·x
Прогнозируемое значение
ŷ = 31,13 + 6,2·4 = 55,93
Остаток
e = 61 − 55,93 = 5,067
Ответ
e = 5,067
Точка лежит выше прямой.
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1