Описательная статистика
- Среднее
- x̄ = Σx/n
- Выборочное стандартное отклонение
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Медиана
- срединное значение упорядоченных данных
- z-оценка
- z = (x − μ)/σ
- Нормальное распределение
- 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ
Основы статистики: шпаргалка-пакет
Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.
1Формулы и методы
Вероятность
- Противоположное событие
- P(not A) = 1 − P(A)
- Правило сложения
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Независимые события
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Условная вероятность
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Биномиальное распределение
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Нормальное распределение
- z-оценка
- z = (x − μ)/σ
- Меньше x
- P(X < x) = Φ(z)
- Больше x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Между
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Процентиль
- x = μ + z·σ
Метод
- Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
- Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
- Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
- Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.
Доверительные интервалы
- σ известно
- x̄ ± z·σ/√n
- σ неизвестно
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Критическое значение z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Объём выборки
- n = (z·σ/E)², rounded up
Метод
- Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
- Найдите критическое значение для уровня доверия.
- Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
- Интервал: x̄ ± E.
Проверка гипотез и доверительные интервалы
- z-тест для среднего
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- t-тест для среднего
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Двусторонний на уровне 5%
- отвергните H0, если |z| > 1,96
- Доверительный интервал
- x̄ ± z·σ/√n
Метод
- Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
- Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
- Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
- Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.
Линейная регрессия и корреляция
- Суммы квадратов
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Угловой коэффициент
- b = Sxy/Sxx
- Свободный член
- a = ȳ − b·x̄
- Корреляция
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Остаток
- e = y − ŷ
2Тренировочные задачи
1.Описательная статистикаСредняя
Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 29, 17, 19, 18, 44, 49.
n = 6
s =
2.Описательная статистикаСложная
Величина распределена нормально со средним 500 и стандартным отклонением 50. Какая доля P значений меньше 425?
μ = 500σ = 50x = 425
P =
3.ВероятностьСредняя
Правильный кубик бросают 5 раз. Какова вероятность P выбросить хотя бы одну шестёрку?
n = 5
P =
4.ВероятностьСложная
Игра стоит €5. Вы выигрываете €15 с вероятностью 0,3 и €250 с вероятностью 0,01; в остальных случаях вы ничего не выигрываете. Ставка не возвращается. Найдите ожидаемый чистый выигрыш E(G) за одну игру.
ставка = €5€15: p = 0,3€250: p = 0,01
E(G) = €
5.Нормальное распределениеСредняя
Перетащите z так, чтобы закрашенная площадь под стандартной нормальной кривой справа от z была равна 0,1093. Найдите z с точностью до двух знаков.
A = 0,1093
z =
6.Нормальное распределениеСложная
Пусть сроки службы батареек распределены нормально со средним 500 h и стандартным отклонением 40 h. Найдите значение x, ниже которого лежат 25 % значений (25-й процентиль).
μ = 500σ = 40P = 25%
x = h
7.Доверительные интервалыСредняя
Сравнивается время работы аккумулятора двух моделей телефонов. Модель 1: 30 телефонов, среднее 70,5 h, известное стандартное отклонение 5 h. Модель 2: 60 телефонов, среднее 74 h, известное стандартное отклонение 5 h. Найдите верхнюю границу 99 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.
n₁ = 30x̄₁ = 70,5 hσ₁ = 5 hn₂ = 60x̄₂ = 74 hσ₂ = 5 h99%
верхняя граница = h
8.Доверительные интервалыСложная
Диаметры 15 обработанных валов имеют выборочное стандартное отклонение 2,4 µm. Считая диаметры нормально распределёнными, найдите границу 95 % доверительного интервала для стандартного отклонения генеральной совокупности — нижняя граница σ. При df = 14 2,5 % распределения χ² лежит ниже 5,629 и 2,5 % — выше 26,119.
n = 15s = 2,4 µmχ² = 5,629, 26,119
σ = µm
9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
Выборка из 81 студентов имеет средний балл 52,67 и выборочное стандартное отклонение 20. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 50.
μ₀ = 50x̄ = 52,67s = 20n = 81
t =
10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
Односторонний z-критерий для H₀: μ = 50 против H₁: μ > 50 проводится при α = 0,01 по выборке объёмом 25; стандартное отклонение известно и равно 7,5. В действительности среднее равно 55,25. Найдите мощность 1 − β критерия в процентах.
μ₀ = 50μ = 55,25σ = 7,5n = 25α = 0,01
1 − β = %
11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя
В таблице даны 6 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Найдите коэффициент детерминации r² прямой наименьших квадратов.
n = 6
r² =
12.Линейная регрессия и корреляцияСложная
В таблице даны 6 пар наблюдений x = часов подготовки и y = балл за экзамен. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. При каком значении x прямая прогнозирует ŷ = 77?
n = 6ŷ = 77
x =
3Растворы
1.Описательная статистика
Ответ: s = 14,07
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Среднее
x̄ = 176/6 = 29,33
Квадраты отклонений
Σ(x − x̄)² = (−0,3333)² + (−12,33)² + (−10,33)² + (−11,33)² + 14,67² + 19,67² = 989,3
Стандартное отклонение
s = √(989,3/5) = 14,07
Ответ
s = 14,07
2.Описательная статистика
Ответ: P = 0,06681
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Стандартизуйте
z = −1,5
Таблица нормального распределения
Φ(−1,5) = 0,06681
P = 0,06681
Ответ
P = 0,06681
3.Вероятность
Ответ: P = 0,5981
Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Противоположное событие
P(нет шестёрки) = (5/6)5 = 0,4019
P = 1 − 0,4019 = 0,5981
Ответ
P = 0,5981
4.Вероятность
Ответ: E(G) = 2 €
Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σY = |a|·σX; прибавление константы не меняет разброс.
Чистые исходы
G: 10 (p = 0,3), 245 (p = 0,01), −5 (p = 0,69)
Математическое ожидание
E(G) = 10·0,3 + 245·0,01 − 5·0,69 = 2 €
Ответ
E(G) = 2 €
Положительное значение означает, что в среднем вы выигрываете деньги.
5.Нормальное распределение
Ответ: z = 1,23
От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.
Площадь слева от z
Φ(z) = 1 − 0,1093 = 0,8907
Читайте таблицу z в обратную сторону
Найдите 0,8907 внутри таблицы и считайте z.
z = 1,23
Ответ
z = 1,23
6.Нормальное распределение
Ответ: x = 473 h
Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.
z для процентиля
Φ(z) = 0,25 → z = −0,6745
Обратно к x
x = 500 + −0,6745·40 = 473,02 h
Ответ
x = 473,02 h
7.Доверительные интервалы
Ответ: верхняя граница = −0,6199 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Точечная оценка
x̄₁ − x̄₂ = 70,5 − 74 = −3,5
Стандартная ошибка
SE = √(5²/30 + 5²/60) = 1,118
Предельная ошибка
E = 2,576·1,118 = 2,88
Интервал
−3,5 ± 2,88 → [−6,38, −0,6199]
Ответ
верхняя граница = −0,6199 h
Интервал не содержит 0, поэтому средние значимо различаются.
8.Доверительные интервалы
Ответ: σ = 1,757 µm
Интервал для дисперсии: (n − 1)s²/σ² имеет распределение χ² с n − 1 степенями свободы. 95 % интервал для σ² простирается от (n − 1)s², делённого на верхнее значение χ² (выше него 2,5 %), до (n − 1)s², делённого на нижнее значение χ² (ниже него 2,5 %); интервал для σ получают извлечением квадратного корня из обеих границ. Он несимметричен относительно s.
Сумма квадратов
(n − 1)s² = 14·2,4² = 80,64
Границы для σ²
80,64/26,119 = 3,087
80,64/5,629 = 14,33
Граница для σ
σ = √3,087 = 1,757 µm
Ответ
σ = 1,757 µm
95 % интервал для σ: [1,757, 3,785] µm.
9.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: t = 1,202
Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).
Стандартная ошибка
SE = 20/√81 = 20/9 = 2,222
Статистика критерия
t = (52,67 − 50)/2,222 = 1,202
Ответ
t = 1,202
t0,025; df = 80 = 1,99
|t| < 1.99, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).
10.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: 1 − β = 87,98 %
Мощность критерия: мощность = 1 − β — вероятность отвергнуть H₀, когда она ложна. Найдите границу x̄c по μ₀ и z_α, затем вычислите вероятность оказаться за x̄c при истинном среднем: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Критическое выборочное среднее
SE = 7,5/√25 = 1,5
x̄c = 50 + 2,326·1,5 = 53,49
z при истинном среднем
z = (53,49 − 55,25)/1,5 = −1,174
Мощность
мощность = P(Z > −1,174) = 87,98%
1 − β = 87,98%
Ответ
1 − β = 87,98%
11.Линейная регрессия и корреляция
Ответ: r² = 0,9775
Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.
Средние
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 104/6 = 17,33
Суммы квадратов и произведений
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −56
Syy = Σ(y − ȳ)² = 183,3
Коэффициент детерминации
r² = −56²/(17,5·183,3) = 0,9775
Ответ
r² = 0,9775
Прямая объясняет около 97,75% вариации y.
12.Линейная регрессия и корреляция
Ответ: x = 5,411
Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.
Средние
x̄ = 27/6 = 4,5
ȳ = 432/6 = 72
Суммы квадратов и произведений
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 96
Линия регрессии
b = 96/17,5 = 5,486
a = 72 − 5,486·4,5 = 47,31
ŷ = 47,31 + 5,486·x
Найдите x
x = (77 − 47,31)/5,486 = 5,411
Ответ
x = 5,411
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1