Основы статистики: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 35, 21, 41, 55, 38, 19.

n = 6

s =

2.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 50 и стандартным отклонением 12. Какая доля P значений меньше 32?

μ = 50σ = 12x = 32

P =

3.ВероятностьСредняя

Для показанного распределения найдите дисперсию Var(X) величины X.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,05, 0,2, 0,2, 0,3, 0,25

Var(X) =

4.ВероятностьСложная

Испытывают 5 компонентов, каждый выходит из строя независимо с вероятностью 0,5. Какова вероятность P, что откажет не более одного?

n = 5p = 0,5

P =

5.Нормальное распределениеСредняя

Пусть результаты IQ-тестов распределены нормально со средним 100 баллов и стандартным отклонением 15 баллов. Какая доля значений лежит между 88,75 и 130,75 баллов? Дайте P в виде десятичной дроби.

μ = 100σ = 15x₁ = 88,75x₂ = 130,75

P =

6.Нормальное распределениеСложная

Пусть сроки доставки распределены нормально со средним 32 min и стандартным отклонением 6 min. Найдите значение x, ниже которого лежат 75 % значений (75-й процентиль).

μ = 32σ = 6P = 75%

x = min

7.Доверительные интервалыСредняя

95 % доверительный интервал для среднего, построенный по 100 наблюдениям при известном σ, имеет предельную ошибку 8,7. Какой будет предельная ошибка E₂, если в том же исследовании использовать 25 наблюдений?

95%n₁ = 100E₁ = 8,7n₂ = 25

E₂ =

8.Доверительные интервалыСложная

Испытываются два удобрения. Группа участков 1: 25 участков, средний урожай 95,5 kg, стандартное отклонение 2,5 kg. Группа участков 2: 6 участков, среднее 99,5 kg, стандартное отклонение 9,5 kg. Считайте дисперсии равными (объединённый t-критерий, df = n₁ + n₂ − 2). Найдите верхнюю границу 90 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.

n₁ = 25x̄₁ = 95,5s₁ = 2,5n₂ = 6x̄₂ = 99,5s₂ = 9,590%t(29) = 1,699

верхняя граница = kg

9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 16 студентов имеет средний балл 46,63 и выборочное стандартное отклонение 15. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 46,63s = 15n = 16

t =

10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Односторонний z-критерий для H₀: μ = 100 против H₁: μ < 100 проводится при α = 0.10 по выборке объёмом 100; стандартное отклонение известно и равно 20. В действительности среднее равно 96.4. Найдите вероятность ошибки второго рода β в процентах.

μ₀ = 100μ = 96,4σ = 20n = 100α = 0,10

β = %

11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 5 пар наблюдений x = часов подготовки и y = балл за экзамен. Найдите коэффициент детерминации r² прямой наименьших квадратов.

n = 5

r² =

12.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 5 пар наблюдений x = часов подготовки и y = балл за экзамен. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. При каком значении x прямая прогнозирует ŷ = 67?

n = 5ŷ = 67

x =

3Растворы

1.Описательная статистика

Ответ: s = 13,39

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 209/6 = 34,83

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = 0,1667² + (−13,83)² + 6,167² + 20,17² + 3,167² + (−15,83)² = 896,8

Стандартное отклонение

s = √(896,8/5) = 13,39

Ответ

s = 13,39

2.Описательная статистика

Ответ: P = 0,06681

Стандартизуйте

z = −1,5

Таблица нормального распределения

Φ(−1,5) = 0,06681

P = 0,06681

Ответ

P = 0,06681

3.Вероятность

Ответ: Var(X) = 1,45

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 1·0,05 + 2·0,2 + 3·0,2 + 4·0,3 + 5·0,25 = 3,5

Среднее квадратов

E(X²) = 1·0,05 + 4·0,2 + 9·0,2 + 16·0,3 + 25·0,25 = 13,7

Дисперсия

Var(X) = 13,7 − 3,5² = 1,45

Ответ

Var(X) = 1,45

4.Вероятность

Ответ: P = 0,1875

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Ноль и один отказ

P(X = 0) = 0,5⁵ = 0,03125

P(X = 1) = 5·0,5·0,5⁴ = 0,1563

Сложите

P = 0,03125 + 0,1563 = 0,1875

Ответ

P = 0,1875

5.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,7532

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z-оценки

z₁ = (88,75 − 100)/15 = −0,75

z₂ = (130,75 − 100)/15 = 2,05

Площадь между

P = Φ(2,05) − Φ(−0,75) = 0,9798 − 0,2266 = 0,7532

Ответ

P = 0,7532

6.Нормальное распределение

Ответ: x = 36,05 min

z для процентиля

Φ(z) = 0,75 → z = 0,6745

Обратно к x

x = 32 + 0,6745·6 = 36,05 min

Ответ

x = 36,05 min

7.Доверительные интервалы

Ответ: E₂ = 17,4

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Отношение предельных ошибок

E₂/E₁ = (1,96/1,96)·√(100/25) = 2

Новая предельная ошибка

E₂ = 8,7·2 = 17,4

Ответ

E₂ = 17,4

8.Доверительные интервалы

Ответ: верхняя граница = −0,4831 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Объединённое стандартное отклонение

s_p² = (24·2,5² + 5·9,5²)/29 = 20,73

s_p = 4,553

Предельная ошибка

E = 1,699·4,553·√(1/25 + 1/6) = 3,517

Интервал

−4 ± 3,517 → [−7,517, −0,4831]

Ответ

верхняя граница = −0,4831 kg

9.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = −0,8987

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 15/√16 = 15/4 = 3,75

Статистика критерия

t = (46,63 − 50)/3,75 = −0,8987

Ответ

t = −0,8987

t_{0,025; df = 15} = 2,131

|t| < 2.131, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

10.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: β = 30,22 %

Мощность критерия: мощность = 1 − β — вероятность отвергнуть H₀, когда она ложна. Найдите границу x̄c по μ₀ и z_α, затем вычислите вероятность оказаться за x̄c при истинном среднем: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Критическое выборочное среднее

SE = 20/√100 = 2

x̄_c = 100 − 1,282·2 = 97,44

z при истинном среднем

z = (97,44 − 96,4)/2 = 0,518

Ошибка второго рода

мощность = P(Z < 0.518) = 69.78%

β = 100% − 69,78% = 30,22%

Ответ

β = 30,22%

11.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r² = 0,9851

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 394/5 = 78,8

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 264

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1769

Коэффициент детерминации

r² = 264²/(40·1769) = 0,9851

Ответ

r² = 0,9851

Прямая объясняет около 98,51% вариации y.

12.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: x = 3,5

Средние

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 383/5 = 76,6

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 64

Линия регрессии

b = 64/10 = 6,4

a = 76,6 − 6,4·5 = 44,6

ŷ = 44,6 + 6,4·x

Найдите x

x = (67 − 44,6)/6,4 = 3,5

Ответ

x = 3,5

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1