Основы статистики: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 34, 33, 10, 22, 43, 19.

n = 6

s =

2.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 50 и стандартным отклонением 5. Какая доля P значений меньше 56,25?

μ = 50σ = 5x = 56,25

P =

3.ВероятностьСредняя

Правильный кубик бросают 6 раз. Какова вероятность P выбросить хотя бы одну шестёрку?

n = 6

P =

4.ВероятностьСложная

Испытывают 9 компонентов, каждый выходит из строя независимо с вероятностью 0,7. Какова вероятность P, что откажет не более одного?

n = 9p = 0,7

P =

5.Нормальное распределениеСредняя

Перетащите z так, чтобы закрашенная площадь между −z и z под стандартной нормальной кривой была равна 0,9625. Найдите z с точностью до двух знаков.

A = 0,9625

z =

6.Нормальное распределениеСложная

Распределение «значения роста взрослых мужчин» нормальное: среднее 178 cm, стандартное отклонение 7 cm. Перетащите границу так, чтобы закрашенные верхние 10% были справа от неё. Найдите границу x.

μ = 178 cmσ = 7 cm10%

x = cm

7.Доверительные интервалыСредняя

Сравнивается время работы аккумулятора двух моделей телефонов. Модель 1: 40 телефонов, среднее 55 h, известное стандартное отклонение 16 h. Модель 2: 50 телефонов, среднее 41 h, известное стандартное отклонение 9 h. Найдите верхнюю границу 90 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.

n₁ = 40x̄₁ = 55 hσ₁ = 16 hn₂ = 50x̄₂ = 41 hσ₂ = 9 h90%

верхняя граница = h

8.Доверительные интервалыСложная

Пилотное исследование показывает, что бракованными являются примерно 0,3 изделий. Сколько изделий n нужно проверить, чтобы 90 % доверительный интервал для доли имел предельную ошибку не более 0,02?

p ≈ 0,3E = 0,0290%

n =

9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 49 студентов имеет средний балл 103,6 и выборочное стандартное отклонение 15. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 103,6s = 15n = 49

t =

10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Односторонний z-критерий для H₀: μ = 500 против H₁: μ > 500 проводится при α = 0,01 по выборке объёмом 64; стандартное отклонение известно и равно 24. В действительности среднее равно 509. Найдите вероятность ошибки второго рода β в процентах.

μ₀ = 500μ = 509σ = 24n = 64α = 0,01

β = %

11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 6 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Найдите коэффициент детерминации r² прямой наименьших квадратов.

n = 6

r² =

12.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 6 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Получено новое наблюдение (11, 26). Найдите его остаток e = y − ŷ.

n = 6(11, 26)

e =

3Растворы

1.Описательная статистика

Ответ: s = 11,99

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 161/6 = 26,83

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = 7,167² + 6,167² + (−16,83)² + (−4,833)² + 16,17² + (−7,833)² = 718,8

Стандартное отклонение

s = √(718,8/5) = 11,99

Ответ

s = 11,99

2.Описательная статистика

Ответ: P = 0,8944

Стандартизуйте

z = 1,25

Таблица нормального распределения

Φ(1,25) = 0,8944

P = 0,8944

Ответ

P = 0,8944

3.Вероятность

Ответ: P = 0,6651

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Противоположное событие

P(нет шестёрки) = (5/6)⁶ = 0,3349

P = 1 − 0,3349 = 0,6651

Ответ

P = 0,6651

4.Вероятность

Ответ: P = 0,000433

Ноль и один отказ

P(X = 0) = 0,3⁹ = 1,968 × 10⁻⁵

P(X = 1) = 9·0,7·0,3⁸ = 0,0004133

Сложите

P = 1,968 × 10⁻⁵ + 0,0004133 = 0,000433

Ответ

P = 0,000433

5.Нормальное распределение

Ответ: z = 2,08

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева от z

Φ(z) = (1 + 0,9625)/2 = 0,9812

Читайте таблицу z в обратную сторону

Найдите 0,9812 внутри таблицы и считайте z.

z = 2,08

Ответ

z = 2,08

6.Нормальное распределение

Ответ: x = 187 cm

Площадь слева

Φ(z) = 0,9

z из таблицы

z ≈ 1,28

Возврат к исходным единицам

x = 178 + 1,28·7 = 187 cm

Ответ

x = 187 cm

7.Доверительные интервалы

Ответ: верхняя граница = 18,66 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Точечная оценка

x̄₁ − x̄₂ = 55 − 41 = 14

Стандартная ошибка

SE = √(16²/40 + 9²/50) = 2,832

Предельная ошибка

E = 1,645·2,832 = 4,659

Интервал

14 ± 4,659 → [9,341, 18,66]

Ответ

верхняя граница = 18,66 h

Интервал не содержит 0, поэтому средние значимо различаются.

8.Доверительные интервалы

Ответ: n = 1421

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Выразите n

n = 1,645²·0,3·0,7/0,02² = 1421

Округлите вверх

n = 1421

Ответ

n = 1421

9.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = 1,68

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 15/√49 = 15/7 = 2,143

Статистика критерия

t = (103,6 − 100)/2,143 = 1,68

Ответ

t = 1,68

t_{0,025; df = 48} = 2,011

|t| < 2.011, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

10.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: β = 25,02 %

Мощность критерия: мощность = 1 − β — вероятность отвергнуть H₀, когда она ложна. Найдите границу x̄c по μ₀ и z_α, затем вычислите вероятность оказаться за x̄c при истинном среднем: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Критическое выборочное среднее

SE = 24/√64 = 3

x̄_c = 500 + 2,326·3 = 507

z при истинном среднем

z = (507 − 509)/3 = −0,674

Ошибка второго рода

мощность = P(Z > −0,674) = 74,98%

β = 100% − 74,98% = 25,02%

Ответ

β = 25,02%

11.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r² = 0,8887

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 27/6 = 4,5

ȳ = 292/6 = 48,67

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 68

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 297,3

Коэффициент детерминации

r² = 68²/(17,5·297,3) = 0,8887

Ответ

r² = 0,8887

Прямая объясняет около 88,87% вариации y.

12.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: e = −2,814

Средние

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 117/6 = 19,5

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 163

Линия регрессии

b = 163/70 = 2,329

a = 19,5 − 2,329·7 = 3,2

ŷ = 3,2 + 2,329·x

Прогнозируемое значение

ŷ = 3,2 + 2,329·11 = 28,81

Остаток

e = 26 − 28,81 = −2,814

Ответ

e = −2,814

Точка лежит ниже прямой.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1