Основы статистики: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 34, 20, 15, 17, 53, 38, 47.

n = 7

s =

2.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 70 и стандартным отклонением 20. Какая доля P значений больше 78?

μ = 70σ = 20x = 78

P =

3.ВероятностьСредняя

Для показанного распределения найдите дисперсию Var(X) величины X.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,3, 0,3, 0,25, 0,15

Var(X) =

4.ВероятностьСложная

В тесте 12 вопросов с вариантами ответов. Студентка, которая угадывает, отвечает верно на каждый с вероятностью 0,7, независимо. Какова вероятность P ровно 5 верных ответов?

n = 12p = 0,7k = 5

P =

5.Нормальное распределениеСредняя

Перетащите z так, чтобы закрашенная площадь под стандартной нормальной кривой справа от z была равна 0,0495. Найдите z с точностью до двух знаков.

A = 0,0495

z =

6.Нормальное распределениеСложная

Диаметры отверстий D нормально распределены со средним 25,05 mm и стандартным отклонением 0,02 mm. Диаметры валов d независимы и нормально распределены со средним 25 mm и стандартным отклонением 0,02 mm. Случайно выбранный вал подходит, если D − d > 0. Найдите вероятность P того, что он подходит. Округлите z до двух знаков после запятой.

отверстие: μ = 25,05 mm, σ = 0,02 mmвал: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm

P =

7.Доверительные интервалыСредняя

Сравнивается время работы аккумулятора двух моделей телефонов. Модель 1: 30 телефонов, среднее 84,5 h, известное стандартное отклонение 6 h. Модель 2: 80 телефонов, среднее 81 h, известное стандартное отклонение 20 h. Найдите верхнюю границу 90 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.

n₁ = 30x̄₁ = 84,5 hσ₁ = 6 hn₂ = 80x̄₂ = 81 hσ₂ = 20 h90%

верхняя граница = h

8.Доверительные интервалыСложная

Испытываются два удобрения. Группа участков 1: 11 участков, средний урожай 94,5 kg, стандартное отклонение 6,5 kg. Группа участков 2: 6 участков, среднее 87 kg, стандартное отклонение 9,5 kg. Считайте дисперсии равными (объединённый t-критерий, df = n₁ + n₂ − 2). Найдите верхнюю границу 95 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.

n₁ = 11x̄₁ = 94,5s₁ = 6,5n₂ = 6x̄₂ = 87s₂ = 9,595%t(15) = 2,131

верхняя граница = kg

9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 49 студентов имеет средний балл 199,2 и выборочное стандартное отклонение 4. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 199,2s = 4n = 49

t =

10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Выборка из 25 измерений имеет среднее 56,8. Стандартное отклонение генеральной совокупности — 20. Найдите нижнюю границу L 99 % доверительного интервала для среднего.

x̄ = 56,8σ = 20n = 2599%

L =

11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 5 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Даны их суммы. Найдите по этим суммам коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 5Σx = 25Σy = 255Σx² = 135Σy² = 13159Σxy = 1313

r =

12.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 6 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Получено новое наблюдение (21, 99). Найдите его остаток e = y − ŷ.

n = 6(21, 99)

e =

3Растворы

1.Описательная статистика

Ответ: s = 15,08

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 224/7 = 32

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = 2² + (−12)² + (−17)² + (−15)² + 21² + 6² + 15² = 1364

Стандартное отклонение

s = √(1364/6) = 15,08

Ответ

s = 15,08

2.Описательная статистика

Ответ: P = 0,3446

Стандартизуйте

z = 0,4

Таблица нормального распределения

Φ(0,4) = 0,6554

P = 1 − 0,6554 = 0,3446

Ответ

P = 0,3446

3.Вероятность

Ответ: Var(X) = 4,35

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 0·0,3 + 2·0,3 + 4·0,25 + 6·0,15 = 2,5

Среднее квадратов

E(X²) = 0·0,3 + 4·0,3 + 16·0,25 + 36·0,15 = 10,6

Дисперсия

Var(X) = 10,6 − 2,5² = 4,35

Ответ

Var(X) = 4,35

4.Вероятность

Ответ: P = 0,02911

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Формула Бернулли

P(X = 5) = 792·0,7⁵·0,3⁷ = 792·0,1681·0,0002187 = 0,02911

Ответ

P = 0,02911

5.Нормальное распределение

Ответ: z = 1,65

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева от z

Φ(z) = 1 − 0,0495 = 0,9505

Читайте таблицу z в обратную сторону

Найдите 0,9505 внутри таблицы и считайте z.

z = 1,65

Ответ

z = 1,65

6.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,9616

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение разности

μ = 25,05 − 25 = 0,05 mm, σ = 0,02828 mm

Стандартизуйте

z = (0 − 0,05)/0,02828 = −1,77

Вероятность

P = 1 − Φ(−1,77) = 0,9616

Ответ

P = 0,9616

7.Доверительные интервалы

Ответ: верхняя граница = 7,596 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Точечная оценка

x̄₁ − x̄₂ = 84,5 − 81 = 3,5

Стандартная ошибка

SE = √(6²/30 + 20²/80) = 2,49

Предельная ошибка

E = 1,645·2,49 = 4,096

Интервал

3,5 ± 4,096 → [−0,596, 7,596]

Ответ

верхняя граница = 7,596 h

Интервал содержит 0, поэтому данные не показывают значимого различия.

8.Доверительные интервалы

Ответ: верхняя граница = 15,75 kg

Объединённое стандартное отклонение

s_p² = (10·6,5² + 5·9,5²)/15 = 58,25

s_p = 7,632

Предельная ошибка

E = 2,131·7,632·√(1/11 + 1/6) = 8,254

Интервал

7,5 ± 8,254 → [−0,7544, 15,75]

Ответ

верхняя граница = 15,75 kg

9.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = −1,4

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 4/√49 = 4/7 = 0,5714

Статистика критерия

t = (199,2 − 200)/0,5714 = −1,4

Ответ

t = −1,4

t_{0,025; df = 48} = 2,011

|t| < 2.011, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

10.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: L = 46,5

Предельная ошибка

E = 2,576·20/√25 = 10,3

Граница интервала

L = 56,8 − 10,3 = 46,5

Ответ

L = 46,5

11.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,9683

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Центрированные суммы

S_xy = 1313 − 25·255/5 = 38

S_xx = 135 − 25²/5 = 10

S_yy = 13159 − 255²/5 = 154

Коэффициент корреляции

r = 38/√(10·154) = 0,9683

Ответ

r = 0,9683

12.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: e = 5

Средние

x̄ = 126/6 = 21

ȳ = 564/6 = 94

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 364

Линия регрессии

b = 364/70 = 5,2

a = 94 − 5,2·21 = −15,2

ŷ = −15,2 + 5,2·x

Прогнозируемое значение

ŷ = −15,2 + 5,2·21 = 94

Остаток

e = 99 − 94 = 5

Ответ

e = 5

Точка лежит выше прямой.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1