Основы статистики: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 31, 33, 20, 44, 52.

n = 5

s =

2.Описательная статистикаСложная

Баллы за экзамен распределены нормально со средним 100 и стандартным отклонением 20. Найдите z-оценку z для результата 80.

μ = 100σ = 20x = 80

z =

3.ВероятностьСредняя

Для показанного распределения найдите стандартное отклонение σ величины X.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,15, 0,35, 0,3, 0,2

σ =

4.ВероятностьСложная

X имеет показанное распределение, а Y = −2X + 20. Найдите стандартное отклонение σ_Y величины Y.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,35, 0,1, 0,2, 0,35Y = −2X + 20

σ_Y =

5.Нормальное распределениеСредняя

Массы объектов (болты) независимы и нормально распределены со средним 40 g и стандартным отклонением 1,2 g. Найдите вероятность P того, что общая масса 5 из них превышает 197,3 g. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ = 40 gσ = 1,2 gn = 5> 197,3 g

P =

6.Нормальное распределениеСложная

Пусть результаты IQ-тестов распределены нормально со средним 100 баллов и стандартным отклонением 15 баллов. Найдите значение x, ниже которого лежат 25 % значений (25-й процентиль).

μ = 100σ = 15P = 25%

x = баллов

7.Доверительные интервалыСредняя

Сравнивается время работы аккумулятора двух моделей телефонов. Модель 1: 50 телефонов, среднее 75 h, известное стандартное отклонение 4 h. Модель 2: 100 телефонов, среднее 76 h, известное стандартное отклонение 10 h. Найдите верхнюю границу 99 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.

n₁ = 50x̄₁ = 75 hσ₁ = 4 hn₂ = 100x̄₂ = 76 hσ₂ = 10 h99%

верхняя граница = h

8.Доверительные интервалыСложная

Испытываются два удобрения. Группа участков 1: 8 участков, средний урожай 84 kg, стандартное отклонение 6 kg. Группа участков 2: 13 участков, среднее 73 kg, стандартное отклонение 9 kg. Считайте дисперсии равными (объединённый t-критерий, df = n₁ + n₂ − 2). Найдите предельную ошибку E 90 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.

n₁ = 8x̄₁ = 84s₁ = 6n₂ = 13x̄₂ = 73s₂ = 990%t(19) = 1,729

E = kg

9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Сравниваются два метода обучения. Группа 1: 5 студентов, средний балл 33,5, стандартное отклонение 6. Группа 2: 17 студентов, средний балл 27, стандартное отклонение 9. Считайте дисперсии генеральных совокупностей равными и используйте двухвыборочный t-критерий с объединённой дисперсией. Найдите статистику критерия t для H₀: μ₁ = μ₂, принимая разность как x̄₁ − x̄₂ (группа 1 минус группа 2).

n₁ = 5x̄₁ = 33,5s₁ = 6n₂ = 17x̄₂ = 27s₂ = 9

t =

10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Выборка из 25 измерений имеет среднее 46,2. Стандартное отклонение генеральной совокупности — 12. Найдите нижнюю границу L 99 % доверительного интервала для среднего.

x̄ = 46,2σ = 12n = 2599%

L =

11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 5 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Даны их суммы. Найдите по этим суммам коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 5Σx = 120Σy = 678Σx² = 2970Σy² = 95910Σxy = 16863

r =

12.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 6 пар наблюдений x = часов подготовки и y = балл за экзамен. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Спрогнозируйте ŷ при x = 1,5.

n = 6x = 1,5

ŷ =

3Растворы

1.Описательная статистика

Ответ: s = 12,35

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 180/5 = 36

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = (−5)² + (−3)² + (−16)² + 8² + 16² = 610

Стандартное отклонение

s = √(610/4) = 12,35

Ответ

s = 12,35

2.Описательная статистика

Ответ: z = −1

Стандартизуйте

z = (80 − 100)/20 = −1

Ответ

z = −1

3.Вероятность

Ответ: σ = 1,947

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 0·0,15 + 2·0,35 + 4·0,3 + 6·0,2 = 3,1

Среднее квадратов

E(X²) = 0·0,15 + 4·0,35 + 16·0,3 + 36·0,2 = 13,4

Дисперсия

Var(X) = 13,4 − 3,1² = 3,79

σ = √3,79 = 1,947

Ответ

σ = 1,947

4.Вероятность

Ответ: σ_Y = 2,567

Разброс X

μ = 1,55, Var(X) = 1,648, σ_X = 1,284

Линейное преобразование

σ_Y = |−2|·1,284 = 2,567

Ответ

σ_Y = 2,567

Среднее действительно сдвигается: E(Y) = −2·1,55 + 20 = 16,9.

5.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,8438

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение суммы

μ_T = 200 g, σ_T = 1,2·√5 = 2,683 g

Стандартизуйте

z = (197,3 − 200)/2,683 = −1,01

Вероятность

P = 1 − Φ(−1,01) = 0,8438

Ответ

P = 0,8438

6.Нормальное распределение

Ответ: x = 89,88 баллов

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z для процентиля

Φ(z) = 0,25 → z = −0,6745

Обратно к x

x = 100 + −0,6745·15 = 89,88 баллов

Ответ

x = 89,88 баллов

7.Доверительные интервалы

Ответ: верхняя граница = 1,96 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Точечная оценка

x̄₁ − x̄₂ = 75 − 76 = −1

Стандартная ошибка

SE = √(4²/50 + 10²/100) = 1,149

Предельная ошибка

E = 2,576·1,149 = 2,96

Интервал

−1 ± 2,96 → [−3,96, 1,96]

Ответ

верхняя граница = 1,96 h

Интервал содержит 0, поэтому данные не показывают значимого различия.

8.Доверительные интервалы

Ответ: E = 6,236 kg

Объединённое стандартное отклонение

s_p² = (7·6² + 12·9²)/19 = 64,42

s_p = 8,026

Предельная ошибка

E = 1,729·8,026·√(1/8 + 1/13) = 6,236

Ответ

E = 6,236 kg

9.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = 1,506

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Объединённая дисперсия

s_p² = (4·6² + 16·9²)/20 = 72

s_p = 8,485

Стандартная ошибка

SE = 8,485·√(1/5 + 1/17) = 4,317

Статистика критерия

t = (33,5 − 27)/4,317 = 1,506

Ответ

t = 1,506

При df = 20 двустороннее критическое значение на уровне 5 % равно 2,086; |t| меньше, поэтому H₀ не отвергается.

10.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: L = 40,02

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Предельная ошибка

E = 2,576·12/√25 = 6,182

Граница интервала

L = 46,2 − 6,182 = 40,02

Ответ

L = 40,02

11.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,9883

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Центрированные суммы

S_xy = 16863 − 120·678/5 = 591

S_xx = 2970 − 120²/5 = 90

S_yy = 95910 − 678²/5 = 3973

Коэффициент корреляции

r = 591/√(90·3973) = 0,9883

Ответ

r = 0,9883

12.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: ŷ = 45,73

Средние

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 333/6 = 55,5

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 85,5

Линия регрессии

b = 85,5/17,5 = 4,886

a = 55,5 − 4,886·3,5 = 38,4

ŷ = 38,4 + 4,886·x

Прогноз

ŷ = 38,4 + 4,886·1,5 = 45,73

Ответ

ŷ = 45,73

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1