Основы статистики: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 59, 31, 22, 41, 47, 46, 43.

n = 7

s =

2.Описательная статистикаСложная

Баллы за экзамен распределены нормально со средним 170 и стандартным отклонением 10. Найдите z-оценку z для результата 155.

μ = 170σ = 10x = 155

z =

3.ВероятностьСредняя

Для показанного распределения найдите стандартное отклонение σ величины X.

x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,35, 0,3

σ =

4.ВероятностьСложная

Игра стоит €1. Вы выигрываете €3 с вероятностью 0,25 и €20 с вероятностью 0,05; в остальных случаях вы ничего не выигрываете. Ставка не возвращается. Найдите ожидаемый чистый выигрыш E(G) за одну игру.

ставка = €1€3: p = 0,25€20: p = 0,05

E(G) = €

5.Нормальное распределениеСредняя

Пусть значения роста взрослых мужчин распределены нормально со средним 178 cm и стандартным отклонением 7 cm. Какая доля значений лежит между 169,6 и 188,5 cm? Дайте P в виде десятичной дроби.

μ = 178σ = 7x₁ = 169,6x₂ = 188,5

P =

6.Нормальное распределениеСложная

Время круга X бегуна A и время круга Y бегуна B независимы и нормально распределены: X имеет среднее 52 s и стандартное отклонение 4 s, Y имеет среднее 48 s и стандартное отклонение 3 s. Найдите вероятность P того, что X больше Y. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ_X = 52 s, σ_X = 4 sμ_Y = 48 s, σ_Y = 3 s

P =

7.Доверительные интервалыСредняя

У 6 пациентов измеряют артериальное давление до и после лечения. Разности d = до − после (mmHg) имеют среднее −8,7 и стандартное отклонение 4,2. Найдите нижнюю границу 99 % доверительного интервала для средней разности.

n = 6d̄ = −8,7s_d = 4,299%t(5) = 4,032

нижняя граница = mmHg

8.Доверительные интервалыСложная

Диаметры 21 обработанных валов имеют выборочное стандартное отклонение 5,8 µm. Считая диаметры нормально распределёнными, найдите границу 95 % доверительного интервала для стандартного отклонения генеральной совокупности — нижняя граница σ. При df = 20 2,5 % распределения χ² лежит ниже 9,591 и 2,5 % — выше 34,17.

n = 21s = 5,8 µmχ² = 9,591, 34,17

σ = µm

9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Утверждается, что среднее генеральной совокупности равно 50; стандартное отклонение генеральной совокупности известно и равно 15. Случайная выборка из 25 наблюдений имеет среднее 47,06. Проверьте H₀: μ = 50 против H₁: μ < 50. Найдите p-значение p.

μ₀ = 50σ = 15n = 25x̄ = 47,06H₁: μ < μ₀

p =

10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

В исследовании выздоравливают 12 из 80 пациентов, получавших лечение A, и 19 из 80 пациентов, получавших лечение B. Используя объединённую долю, найдите статистику критерия z для H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 12n₁ = 80x₂ = 19n₂ = 80

z =

11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 6 пар наблюдений x = часов подготовки и y = балл за экзамен. Найдите коэффициент детерминации r² прямой наименьших квадратов.

n = 6

r² =

12.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 6 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Получено новое наблюдение (5,5, 8). Найдите его остаток e = y − ŷ.

n = 6(5,5, 8)

e =

3Растворы

1.Описательная статистика

Ответ: s = 11,9

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 289/7 = 41,29

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = 17,71² + (−10,29)² + (−19,29)² + (−0,2857)² + 5,714² + 4,714² + 1,714² = 849,4

Стандартное отклонение

s = √(849,4/6) = 11,9

Ответ

s = 11,9

2.Описательная статистика

Ответ: z = −1,5

Стандартизуйте

z = (155 − 170)/10 = −1,5

Ответ

z = −1,5

3.Вероятность

Ответ: σ = 0,8047

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 0·0,35 + 1·0,35 + 2·0,3 = 0,95

Среднее квадратов

E(X²) = 0·0,35 + 1·0,35 + 4·0,3 = 1,55

Дисперсия

Var(X) = 1,55 − 0,95² = 0,6475

σ = √0,6475 = 0,8047

Ответ

σ = 0,8047

4.Вероятность

Ответ: E(G) = 0,75 €

Чистые исходы

G: 2 (p = 0,25), 19 (p = 0,05), −1 (p = 0,7)

Математическое ожидание

E(G) = 2·0,25 + 19·0,05 − 1·0,7 = 0,75 €

Ответ

E(G) = 0,75 €

Положительное значение означает, что в среднем вы выигрываете деньги.

5.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,8181

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z-оценки

z₁ = (169,6 − 178)/7 = −1,2

z₂ = (188,5 − 178)/7 = 1,5

Площадь между

P = Φ(1,5) − Φ(−1,2) = 0,9332 − 0,1151 = 0,8181

Ответ

P = 0,8181

6.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,7881

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение разности

μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s

Стандартизуйте

z = (0 − 4)/5 = −0,8

Вероятность

P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881

Ответ

P = 0,7881

7.Доверительные интервалы

Ответ: нижняя граница = −15,61 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Критическое значение

df = 5, t = 4,032

Предельная ошибка

E = 4,032·4,2/√6 = 6,913

Интервал

−8,7 ± 6,913 → [−15,61, −1,787]

Ответ

нижняя граница = −15,61 mmHg

8.Доверительные интервалы

Ответ: σ = 4,437 µm

Интервал для дисперсии: (n − 1)s²/σ² имеет распределение χ² с n − 1 степенями свободы. 95 % интервал для σ² простирается от (n − 1)s², делённого на верхнее значение χ² (выше него 2,5 %), до (n − 1)s², делённого на нижнее значение χ² (ниже него 2,5 %); интервал для σ получают извлечением квадратного корня из обеих границ. Он несимметричен относительно s.

Сумма квадратов

(n − 1)s² = 20·5,8² = 672,8

Границы для σ²

672,8/34,17 = 19,69

672,8/9,591 = 70,15

Граница для σ

σ = √19,69 = 4,437 µm

Ответ

σ = 4,437 µm

95 % интервал для σ: [4,437, 8,376] µm.

9.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: p = 0,1635

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Статистика критерия

SE = σ/√n = 15/√25 = 3

z = (47,06 − 50)/3 = −0,98

Площадь хвоста

Φ(0,98) = 0,8365

1 − Φ(0,98) = 0,1635

p-значение

p = 0,1635

Ответ

p = 0,1635

p > 0,05, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 %.

10.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: z = −1,4

Выборочные доли

p̂₁ = 12/80 = 0,15

p̂₂ = 19/80 = 0,2375

p̂ = 31/160 = 0,1938

Стандартная ошибка при H₀

SE = √(0,1938·0,8063·(1/80 + 1/80)) = 0,06249

Статистика критерия

z = (0,15 − 0,2375)/0,06249 = −1,4

Ответ

z = −1,4

|z| < 1.96, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

11.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r² = 0,9915

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 48/6 = 8

ȳ = 453/6 = 75,5

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 261

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 981,5

Коэффициент детерминации

r² = 261²/(70·981,5) = 0,9915

Ответ

r² = 0,9915

Прямая объясняет около 99,15% вариации y.

12.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: e = −3,748

Средние

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 101/6 = 16,83

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −44,5

Линия регрессии

b = −44,5/17,5 = −2,543

a = 16,83 − (−2,543)·3,5 = 25,73

ŷ = 25,73 − 2,543·x

Прогнозируемое значение

ŷ = 25,73 + (−2,543)·5,5 = 11,75

Остаток

e = 8 − 11,75 = −3,748

Ответ

e = −3,748

Точка лежит ниже прямой.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1