Основы статистики: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 41, 29, 33, 18, 41, 36.

n = 6

s =

2.Описательная статистикаСложная

Баллы за экзамен распределены нормально со средним 100 и стандартным отклонением 20. Найдите z-оценку z для результата 70.

μ = 100σ = 20x = 70

z =

3.ВероятностьСредняя

В мешочке 7 красных и 6 синих шаров. Вы вынимаете два шара, не возвращая первый. Какова вероятность P, что оба красные?

7 / 6

P =

4.ВероятностьСложная

X имеет показанное распределение, а Y = 5X + 10. Найдите стандартное отклонение σ_Y величины Y.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,15, 0,3, 0,35, 0,2Y = 5X + 10

σ_Y =

5.Нормальное распределениеСредняя

Пусть массы пакетов распределены нормально со средним 250 g и стандартным отклонением 5 g. Какая доля значений лежит между 244 и 260 g? Дайте P в виде десятичной дроби.

μ = 250σ = 5x₁ = 244x₂ = 260

P =

6.Нормальное распределениеСложная

Пусть значения роста взрослых мужчин распределены нормально со средним 178 cm и стандартным отклонением 7 cm. Найдите значение x, ниже которого лежат 99 % значений (99-й процентиль).

μ = 178σ = 7P = 99%

x = cm

7.Доверительные интервалыСредняя

Сравнивается время работы аккумулятора двух моделей телефонов. Модель 1: 80 телефонов, среднее 62 h, известное стандартное отклонение 16 h. Модель 2: 100 телефонов, среднее 74 h, известное стандартное отклонение 16 h. Найдите предельную ошибку E 99 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.

n₁ = 80x̄₁ = 62 hσ₁ = 16 hn₂ = 100x̄₂ = 74 hσ₂ = 16 h99%

E = h

8.Доверительные интервалыСложная

Пилотное исследование показывает, что бракованными являются примерно 0,8 изделий. Сколько изделий n нужно проверить, чтобы 90 % доверительный интервал для доли имел предельную ошибку не более 0,05?

p ≈ 0,8E = 0,0590%

n =

9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Утверждается, что среднее генеральной совокупности равно 500; стандартное отклонение генеральной совокупности известно и равно 10. Случайная выборка из 100 наблюдений имеет среднее 501,08. Проверьте H₀: μ = 500 против H₁: μ > 500. Найдите p-значение p.

μ₀ = 500σ = 10n = 100x̄ = 501,08H₁: μ > μ₀

p =

10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

В исследовании выздоравливают 60 из 200 пациентов, получавших лечение A, и 54 из 200 пациентов, получавших лечение B. Используя объединённую долю, найдите статистику критерия z для H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 60n₁ = 200x₂ = 54n₂ = 200

z =

11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 6 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Даны их суммы. Найдите по этим суммам коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 6Σx = 114Σy = 325Σx² = 2236Σy² = 18271Σxy = 6390

r =

12.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 6 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Получено новое наблюдение (4,5, 49). Найдите его остаток e = y − ŷ.

n = 6(4,5, 49)

e =

3Растворы

1.Описательная статистика

Ответ: s = 8,695

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 198/6 = 33

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = 8² + (−4)² + 0² + (−15)² + 8² + 3² = 378

Стандартное отклонение

s = √(378/5) = 8,695

Ответ

s = 8,695

2.Описательная статистика

Ответ: z = −1,5

Стандартизуйте

z = (70 − 100)/20 = −1,5

Ответ

z = −1,5

3.Вероятность

Ответ: P = 0,2692

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Первое и второе извлечение

P = 7/13 · 6/12 = 42/156 = 0,2692

Ответ

P = 0,2692

4.Вероятность

Ответ: σ_Y = 4,848

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Разброс X

μ = 2,6, Var(X) = 0,94, σ_X = 0,9695

Линейное преобразование

σ_Y = |5|·0,9695 = 4,848

Ответ

σ_Y = 4,848

Среднее действительно сдвигается: E(Y) = 5·2,6 + 10 = 23.

5.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,8622

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z-оценки

z₁ = (244 − 250)/5 = −1,2

z₂ = (260 − 250)/5 = 2

Площадь между

P = Φ(2) − Φ(−1,2) = 0,9772 − 0,1151 = 0,8622

Ответ

P = 0,8622

6.Нормальное распределение

Ответ: x = 194,3 cm

z для процентиля

Φ(z) = 0,99 → z = 2,326

Обратно к x

x = 178 + 2,326·7 = 194,28 cm

Ответ

x = 194,28 cm

7.Доверительные интервалы

Ответ: E = 6,182 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Точечная оценка

x̄₁ − x̄₂ = 62 − 74 = −12

Стандартная ошибка

SE = √(16²/80 + 16²/100) = 2,4

Предельная ошибка

E = 2,576·2,4 = 6,182

Ответ

E = 6,182 h

Интервал не содержит 0, поэтому средние значимо различаются.

8.Доверительные интервалы

Ответ: n = 174

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Выразите n

n = 1,645²·0,8·0,2/0,05² = 173,2

Округлите вверх

n = 174

Ответ

n = 174

9.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: p = 0,1401

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Статистика критерия

SE = σ/√n = 10/√100 = 1

z = (501,08 − 500)/1 = 1,08

Площадь хвоста

Φ(1,08) = 0,8599

1 − Φ(1,08) = 0,1401

p-значение

p = 0,1401

Ответ

p = 0,1401

p > 0,05, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 %.

10.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: z = 0,6646

Выборочные доли

p̂₁ = 60/200 = 0,3

p̂₂ = 54/200 = 0,27

p̂ = 114/400 = 0,285

Стандартная ошибка при H₀

SE = √(0,285·0,715·(1/200 + 1/200)) = 0,04514

Статистика критерия

z = (0,3 − 0,27)/0,04514 = 0,6646

Ответ

z = 0,6646

|z| < 1.96, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

11.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,9951

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Центрированные суммы

S_xy = 6390 − 114·325/6 = 215

S_xx = 2236 − 114²/6 = 70

S_yy = 18271 − 325²/6 = 666,8

Коэффициент корреляции

r = 215/√(70·666,8) = 0,9951

Ответ

r = 0,9951

12.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: e = 3

Средние

x̄ = 27/6 = 4,5

ȳ = 276/6 = 46

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 102

Линия регрессии

b = 102/17,5 = 5,829

a = 46 − 5,829·4,5 = 19,77

ŷ = 19,77 + 5,829·x

Прогнозируемое значение

ŷ = 19,77 + 5,829·4,5 = 46

Остаток

e = 49 − 46 = 3

Ответ

e = 3

Точка лежит выше прямой.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1