Основы статистики: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 46, 10, 11, 13, 28, 31.

n = 6

s =

2.Описательная статистикаСложная

Баллы за экзамен распределены нормально со средним 100 и стандартным отклонением 5. Найдите z-оценку z для результата 102.

μ = 100σ = 5x = 102

z =

3.ВероятностьСредняя

Сколькими способами N можно выбрать комиссию из 4 человек из группы из 9 человек? Порядок не важен.

n = 9k = 4

N =

4.ВероятностьСложная

X имеет показанное распределение, а Y = 5X + 5. Найдите стандартное отклонение σ_Y величины Y.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,1, 0,25, 0,2, 0,15, 0,3Y = 5X + 5

σ_Y =

5.Нормальное распределениеСредняя

Пусть сроки доставки распределены нормально со средним 32 min и стандартным отклонением 6 min. Какая доля значений лежит между 27,2 и 41,3 min? Дайте P в виде десятичной дроби.

μ = 32σ = 6x₁ = 27,2x₂ = 41,3

P =

6.Нормальное распределениеСложная

Пусть значения роста взрослых мужчин распределены нормально со средним 178 cm и стандартным отклонением 7 cm. Найдите значение x, ниже которого лежат 10 % значений (10-й процентиль).

μ = 178σ = 7P = 10%

x = cm

7.Доверительные интервалыСредняя

У 20 пациентов измеряют артериальное давление до и после лечения. Разности d = до − после (mmHg) имеют среднее −8,8 и стандартное отклонение 3,2. Найдите верхнюю границу 90 % доверительного интервала для средней разности.

n = 20d̄ = −8,8s_d = 3,290%t(19) = 1,729

верхняя граница = mmHg

8.Доверительные интервалыСложная

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 29. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 90 % доверительного интервала для среднего не превышала 4?

σ = 29E = 490%

n =

9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Сравниваются два метода обучения. Группа 1: 7 студентов, средний балл 80,5, стандартное отклонение 5. Группа 2: 10 студентов, средний балл 73,6, стандартное отклонение 5. Считайте дисперсии генеральных совокупностей равными и используйте двухвыборочный t-критерий с объединённой дисперсией. Найдите статистику критерия t для H₀: μ₁ = μ₂, принимая разность как x̄₁ − x̄₂ (группа 1 минус группа 2).

n₁ = 7x̄₁ = 80,5s₁ = 5n₂ = 10x̄₂ = 73,6s₂ = 5

t =

10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

В исследовании выздоравливают 30 из 100 пациентов, получавших лечение A, и 108 из 300 пациентов, получавших лечение B. Используя объединённую долю, найдите статистику критерия z для H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 30n₁ = 100x₂ = 108n₂ = 300

z =

11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 5 пар наблюдений x = часов подготовки и y = балл за экзамен. Даны их суммы. Найдите по этим суммам коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 5Σx = 35Σy = 377Σx² = 285Σy² = 29587Σxy = 2851

r =

12.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 6 пар наблюдений x = часов подготовки и y = балл за экзамен. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. При каком значении x прямая прогнозирует ŷ = 56?

n = 6ŷ = 56

x =

3Растворы

1.Описательная статистика

Ответ: s = 14,36

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 139/6 = 23,17

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = 22,83² + (−13,17)² + (−12,17)² + (−10,17)² + 4,833² + 7,833² = 1031

Стандартное отклонение

s = √(1031/5) = 14,36

Ответ

s = 14,36

2.Описательная статистика

Ответ: z = 0,4

Стандартизуйте

z = (102 − 100)/5 = 0,4

Ответ

z = 0,4

3.Вероятность

Ответ: N = 126

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Сочетания

C(9, 4) = (9·8·7·6)/(4·3·2·1) = 126

Ответ

N = 126

4.Вероятность

Ответ: σ_Y = 6,91

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Разброс X

μ = 2,3, Var(X) = 1,91, σ_X = 1,382

Линейное преобразование

σ_Y = |5|·1,382 = 6,91

Ответ

σ_Y = 6,91

Среднее действительно сдвигается: E(Y) = 5·2,3 + 5 = 16,5.

5.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,7276

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z-оценки

z₁ = (27,2 − 32)/6 = −0,8

z₂ = (41,3 − 32)/6 = 1,55

Площадь между

P = Φ(1,55) − Φ(−0,8) = 0,9394 − 0,2119 = 0,7276

Ответ

P = 0,7276

6.Нормальное распределение

Ответ: x = 169 cm

z для процентиля

Φ(z) = 0,1 → z = −1,282

Обратно к x

x = 178 + −1,282·7 = 169,03 cm

Ответ

x = 169,03 cm

7.Доверительные интервалы

Ответ: верхняя граница = −7,563 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Критическое значение

df = 19, t = 1,729

Предельная ошибка

E = 1,729·3,2/√20 = 1,237

Интервал

−8,8 ± 1,237 → [−10,04, −7,563]

Ответ

верхняя граница = −7,563 mmHg

8.Доверительные интервалы

Ответ: n = 143

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Выразите n

n = (1,645·29/4)² = 142,2

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 143

Ответ

n = 143

9.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = 2,8

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Объединённая дисперсия

s_p² = (6·5² + 9·5²)/15 = 25

s_p = 5

Стандартная ошибка

SE = 5·√(1/7 + 1/10) = 2,464

Статистика критерия

t = (80,5 − 73,6)/2,464 = 2,8

Ответ

t = 2,8

При df = 15 двустороннее критическое значение на уровне 5 % равно 2,131; |t| больше, поэтому H₀ отвергается.

10.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: z = −1,093

Выборочные доли

p̂₁ = 30/100 = 0,3

p̂₂ = 108/300 = 0,36

p̂ = 138/400 = 0,345

Стандартная ошибка при H₀

SE = √(0,345·0,655·(1/100 + 1/300)) = 0,05489

Статистика критерия

z = (0,3 − 0,36)/0,05489 = −1,093

Ответ

z = −1,093

|z| < 1.96, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

11.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,9837

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Центрированные суммы

S_xy = 2851 − 35·377/5 = 212

S_xx = 285 − 35²/5 = 40

S_yy = 29587 − 377²/5 = 1161

Коэффициент корреляции

r = 212/√(40·1161) = 0,9837

Ответ

r = 0,9837

12.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: x = 4,73

Средние

x̄ = 27/6 = 4,5

ȳ = 331/6 = 55,17

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 63,5

Линия регрессии

b = 63,5/17,5 = 3,629

a = 55,17 − 3,629·4,5 = 38,84

ŷ = 38,84 + 3,629·x

Найдите x

x = (56 − 38,84)/3,629 = 4,73

Ответ

x = 4,73

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1