Основы статистики: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 12, 58, 54, 60, 53, 32.

n = 6

s =

2.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 500 и стандартным отклонением 25. Какая доля P значений меньше 470?

μ = 500σ = 25x = 470

P =

3.ВероятностьСредняя

Для показанного распределения найдите стандартное отклонение σ величины X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,3, 0,25, 0,15, 0,3

σ =

4.ВероятностьСложная

Игра стоит €5. Вы выигрываете €20 с вероятностью 0,15 и €250 с вероятностью 0,02; в остальных случаях вы ничего не выигрываете. Ставка не возвращается. Найдите ожидаемый чистый выигрыш E(G) за одну игру.

ставка = €5€20: p = 0,15€250: p = 0,02

E(G) = €

5.Нормальное распределениеСредняя

Пусть значения роста взрослых мужчин распределены нормально со средним 178 cm и стандартным отклонением 7 cm. Какая доля значений лежит между 178 и 179,4 cm? Дайте P в виде десятичной дроби.

μ = 178σ = 7x₁ = 178x₂ = 179,4

P =

6.Нормальное распределениеСложная

Пусть массы пакетов распределены нормально со средним 250 g и стандартным отклонением 5 g. Найдите значение x, ниже которого лежат 80 % значений (80-й процентиль).

μ = 250σ = 5P = 80%

x = g

7.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 8 элементов имеет среднее 91,5 и стандартное отклонение s = 12. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите нижнюю границу 95 % доверительного интервала для среднего.

n = 8x̄ = 91,5s = 1295%t(7) = 2,365

нижняя граница =

8.Доверительные интервалыСложная

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 39. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 95 % доверительного интервала для среднего не превышала 0,5?

σ = 39E = 0,595%

n =

9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 49 студентов имеет средний балл 100,8 и выборочное стандартное отклонение 8. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 100,8s = 8n = 49

t =

10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

В исследовании выздоравливают 36 из 80 пациентов, получавших лечение A, и 177 из 300 пациентов, получавших лечение B. Используя объединённую долю, найдите статистику критерия z для H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 36n₁ = 80x₂ = 177n₂ = 300

z =

11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 6 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Найдите коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 6

r =

12.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 5 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Получено новое наблюдение (20, 62). Найдите его остаток e = y − ŷ.

n = 5(20, 62)

e =

3Растворы

1.Описательная статистика

Ответ: s = 18,96

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 269/6 = 44,83

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = (−32,83)² + 13,17² + 9,167² + 15,17² + 8,167² + (−12,83)² = 1797

Стандартное отклонение

s = √(1797/5) = 18,96

Ответ

s = 18,96

2.Описательная статистика

Ответ: P = 0,1151

Стандартизуйте

z = −1,2

Таблица нормального распределения

Φ(−1,2) = 0,1151

P = 0,1151

Ответ

P = 0,1151

3.Вероятность

Ответ: σ = 1,203

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 0·0,3 + 1·0,25 + 2·0,15 + 3·0,3 = 1,45

Среднее квадратов

E(X²) = 0·0,3 + 1·0,25 + 4·0,15 + 9·0,3 = 3,55

Дисперсия

Var(X) = 3,55 − 1,45² = 1,447

σ = √1,447 = 1,203

Ответ

σ = 1,203

4.Вероятность

Ответ: E(G) = 3 €

Чистые исходы

G: 15 (p = 0,15), 245 (p = 0,02), −5 (p = 0,83)

Математическое ожидание

E(G) = 15·0,15 + 245·0,02 − 5·0,83 = 3 €

Ответ

E(G) = 3 €

Положительное значение означает, что в среднем вы выигрываете деньги.

5.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,07926

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z-оценки

z₁ = (178 − 178)/7 = 0

z₂ = (179,4 − 178)/7 = 0,2

Площадь между

P = Φ(0,2) − Φ(0) = 0,5793 − 0,5 = 0,07926

Ответ

P = 0,07926

6.Нормальное распределение

Ответ: x = 254,2 g

z для процентиля

Φ(z) = 0,8 → z = 0,8416

Обратно к x

x = 250 + 0,8416·5 = 254,21 g

Ответ

x = 254,21 g

7.Доверительные интервалы

Ответ: нижняя граница = 81,47

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 7, t = 2,365

Предельная ошибка

E = 2,365·12/√8 = 10,03

Интервал

91,5 ± 10,03 → [81,47, 101,5]

Ответ

нижняя граница = 81,47

8.Доверительные интервалы

Ответ: n = 23373

Выразите n

n = (1,96·39/0,5)² = 23372

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 23373

Ответ

n = 23373

9.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = 0,7

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 8/√49 = 8/7 = 1,143

Статистика критерия

t = (100,8 − 100)/1,143 = 0,7

Ответ

t = 0,7

t_{0,025; df = 48} = 2,011

|t| < 2.011, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

10.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: z = −2,242

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Выборочные доли

p̂₁ = 36/80 = 0,45

p̂₂ = 177/300 = 0,59

p̂ = 213/380 = 0,5605

Стандартная ошибка при H₀

SE = √(0,5605·0,4395·(1/80 + 1/300)) = 0,06245

Статистика критерия

z = (0,45 − 0,59)/0,06245 = −2,242

Ответ

z = −2,242

|z| > 1,96, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

11.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = −0,9705

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 127/6 = 21,17

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −36,5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 80,83

Коэффициент корреляции

r = −36,5/√(17,5·80,83) = −0,9705

Ответ

r = −0,9705

12.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: e = −4,9

Средние

x̄ = 95/5 = 19

ȳ = 323/5 = 64,6

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 92

Линия регрессии

b = 92/40 = 2,3

a = 64,6 − 2,3·19 = 20,9

ŷ = 20,9 + 2,3·x

Прогнозируемое значение

ŷ = 20,9 + 2,3·20 = 66,9

Остаток

e = 62 − 66,9 = −4,9

Ответ

e = −4,9

Точка лежит ниже прямой.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1