Описательная статистика
- Среднее
- x̄ = Σx/n
- Выборочное стандартное отклонение
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Медиана
- срединное значение упорядоченных данных
- z-оценка
- z = (x − μ)/σ
- Нормальное распределение
- 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ
Основы статистики: шпаргалка-пакет
Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.
1Формулы и методы
Вероятность
- Противоположное событие
- P(not A) = 1 − P(A)
- Правило сложения
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Независимые события
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Условная вероятность
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Биномиальное распределение
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Нормальное распределение
- z-оценка
- z = (x − μ)/σ
- Меньше x
- P(X < x) = Φ(z)
- Больше x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Между
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Процентиль
- x = μ + z·σ
Метод
- Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
- Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
- Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
- Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.
Доверительные интервалы
- σ известно
- x̄ ± z·σ/√n
- σ неизвестно
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Критическое значение z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Объём выборки
- n = (z·σ/E)², rounded up
Метод
- Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
- Найдите критическое значение для уровня доверия.
- Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
- Интервал: x̄ ± E.
Проверка гипотез и доверительные интервалы
- z-тест для среднего
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- t-тест для среднего
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Двусторонний на уровне 5%
- отвергните H0, если |z| > 1,96
- Доверительный интервал
- x̄ ± z·σ/√n
Метод
- Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
- Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
- Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
- Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.
Линейная регрессия и корреляция
- Суммы квадратов
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Угловой коэффициент
- b = Sxy/Sxx
- Свободный член
- a = ȳ − b·x̄
- Корреляция
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Остаток
- e = y − ŷ
2Тренировочные задачи
1.Описательная статистикаСредняя
Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 56, 51, 48, 18, 52, 47, 60.
n = 7
s =
2.Описательная статистикаСложная
Баллы за экзамен распределены нормально со средним 170 и стандартным отклонением 8. Найдите z-оценку z для результата 186.
μ = 170σ = 8x = 186
z =
3.ВероятностьСредняя
Правильный кубик бросают 3 раз. Какова вероятность P выбросить хотя бы одну шестёрку?
n = 3
P =
4.ВероятностьСложная
X имеет показанное распределение, а Y = −2X + 4. Найдите стандартное отклонение σY величины Y.
x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,35, 0,1, 0,15, 0,25, 0,15Y = −2X + 4
σY =
5.Нормальное распределениеСредняя
Пусть сроки службы батареек распределены нормально со средним 500 h и стандартным отклонением 40 h. Какая доля значений лежит между 482 и 582 h? Дайте P в виде десятичной дроби.
μ = 500σ = 40x1 = 482x2 = 582
P =
6.Нормальное распределениеСложная
Распределение «баллы за экзамен» нормальное: среднее 65 баллов, стандартное отклонение 10 баллов. Перетащите границу так, чтобы закрашенные верхние 5% были справа от неё. Найдите границу x.
μ = 65 балловσ = 10 баллов5%
x = баллов
7.Доверительные интервалыСредняя
Выборка из 9 элементов имеет среднее 43,5 и стандартное отклонение s = 16,5. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите нижнюю границу 95 % доверительного интервала для среднего.
n = 9x̄ = 43,5s = 16,595%t(8) = 2,306
нижняя граница =
8.Доверительные интервалыСложная
Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 31. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 90 % доверительного интервала для среднего не превышала 0,5?
σ = 31E = 0,590%
n =
9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
16 сотрудников проходят тест на скорость печати до и после обучающего курса. Для каждого записывается разность d = после − до (слов в минуту). Средняя разность равна 6,9, стандартное отклонение разностей — 8,9. Найдите статистику парного критерия t для H₀: μd = 0.
n = 16d̄ = 6,9sd = 8,9
t =
10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
Односторонний z-критерий для H₀: μ = 200 против H₁: μ < 200 проводится при α = 0.10 по выборке объёмом 100; стандартное отклонение известно и равно 20. В действительности среднее равно 195.6. Найдите вероятность ошибки второго рода β в процентах.
μ₀ = 200μ = 195,6σ = 20n = 100α = 0,10
β = %
11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя
В таблице даны 5 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Даны их суммы. Найдите по этим суммам коэффициент корреляции Пирсона r.
n = 5Σx = 15Σy = 98Σx² = 55Σy² = 1970Σxy = 273
r =
12.Линейная регрессия и корреляцияСложная
В таблице даны 5 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Спрогнозируйте ŷ при x = 2,5.
n = 5x = 2,5
ŷ =
3Растворы
1.Описательная статистика
Ответ: s = 13,73
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Среднее
x̄ = 332/7 = 47,43
Квадраты отклонений
Σ(x − x̄)² = 8,571² + 3,571² + 0,5714² + (−29,43)² + 4,571² + (−0,4286)² + 12,57² = 1132
Стандартное отклонение
s = √(1132/6) = 13,73
Ответ
s = 13,73
2.Описательная статистика
Ответ: z = 2
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Стандартизуйте
z = (186 − 170)/8 = 2
Ответ
z = 2
3.Вероятность
Ответ: P = 0,4213
Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Противоположное событие
P(нет шестёрки) = (5/6)3 = 0,5787
P = 1 − 0,5787 = 0,4213
Ответ
P = 0,4213
4.Вероятность
Ответ: σY = 3,025
Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σY = |a|·σX; прибавление константы не меняет разброс.
Разброс X
μ = 1,75, Var(X) = 2,287, σX = 1,512
Линейное преобразование
σY = |−2|·1,512 = 3,025
Ответ
σY = 3,025
Среднее действительно сдвигается: E(Y) = −2·1,75 + 4 = 0,5.
5.Нормальное распределение
Ответ: P = 0,6535
Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.
z-оценки
z₁ = (482 − 500)/40 = −0,45
z₂ = (582 − 500)/40 = 2,05
Площадь между
P = Φ(2,05) − Φ(−0,45) = 0,9798 − 0,3264 = 0,6535
Ответ
P = 0,6535
6.Нормальное распределение
Ответ: x = 81,4 баллов
От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.
Площадь слева
Φ(z) = 0,95
z из таблицы
z ≈ 1,64
Возврат к исходным единицам
x = 65 + 1,64·10 = 81,4 баллов
Ответ
x = 81,4 баллов
7.Доверительные интервалы
Ответ: нижняя граница = 30,82
Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.
Критическое значение
df = n − 1 = 8, t = 2,306
Предельная ошибка
E = 2,306·16,5/√9 = 12,68
Интервал
43,5 ± 12,68 → [30,82, 56,18]
Ответ
нижняя граница = 30,82
8.Доверительные интервалы
Ответ: n = 10402
Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.
Выразите n
n = (1,645·31/0,5)² = 10402
Округлите вверх
Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.
n = 10402
Ответ
n = 10402
9.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: t = 3,101
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Стандартная ошибка средней разности
SE = 8,9/√16 = 2,225
Статистика критерия
t = 6,9/2,225 = 3,101
Ответ
t = 3,101
При df = 15 двустороннее критическое значение на уровне 5 % равно 2,131; |t| больше, поэтому H₀ отвергается.
10.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: β = 17,93 %
Мощность критерия: мощность = 1 − β — вероятность отвергнуть H₀, когда она ложна. Найдите границу x̄c по μ₀ и z_α, затем вычислите вероятность оказаться за x̄c при истинном среднем: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Критическое выборочное среднее
SE = 20/√100 = 2
x̄c = 200 − 1,282·2 = 197,4
z при истинном среднем
z = (197,4 − 195,6)/2 = 0,918
Ошибка второго рода
мощность = P(Z < 0.918) = 82.07%
β = 100% − 82,07% = 17,93%
Ответ
β = 17,93%
11.Линейная регрессия и корреляция
Ответ: r = −0,9468
Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.
Центрированные суммы
Sxy = 273 − 15·98/5 = −21
Sxx = 55 − 15²/5 = 10
Syy = 1970 − 98²/5 = 49,2
Коэффициент корреляции
r = −21/√(10·49,2) = −0,9468
Ответ
r = −0,9468
12.Линейная регрессия и корреляция
Ответ: ŷ = 21,85
Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.
Средние
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 106/5 = 21,2
Суммы квадратов и произведений
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −13
Линия регрессии
b = −13/10 = −1,3
a = 21,2 − (−1,3)·3 = 25,1
ŷ = 25,1 − 1,3·x
Прогноз
ŷ = 25,1 + (−1,3)·2,5 = 21,85
Ответ
ŷ = 21,85
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1