Основы статистики: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 56, 49, 36, 53, 28.

n = 5

s =

2.Описательная статистикаСложная

Баллы за экзамен распределены нормально со средним 100 и стандартным отклонением 5. Найдите z-оценку z для результата 103.

μ = 100σ = 5x = 103

z =

3.ВероятностьСредняя

Для показанного распределения найдите стандартное отклонение σ величины X.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,35, 0,25, 0,05, 0,3, 0,05

σ =

4.ВероятностьСложная

Игра стоит €1. Вы выигрываете €5 с вероятностью 0,3 и €50 с вероятностью 0,02; в остальных случаях вы ничего не выигрываете. Ставка не возвращается. Найдите ожидаемый чистый выигрыш E(G) за одну игру.

ставка = €1€5: p = 0,3€50: p = 0,02

E(G) = €

5.Нормальное распределениеСредняя

Массы объектов (болты) независимы и нормально распределены со средним 40 g и стандартным отклонением 1,2 g. Найдите вероятность P того, что общая масса 10 из них меньше 407,6 g. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ = 40 gσ = 1,2 gn = 10< 407.6 g

P =

6.Нормальное распределениеСложная

Диаметры отверстий D нормально распределены со средним 25,03 mm и стандартным отклонением 0,015 mm. Диаметры валов d независимы и нормально распределены со средним 25 mm и стандартным отклонением 0,02 mm. Случайно выбранный вал подходит, если D − d > 0. Найдите вероятность P того, что он подходит. Округлите z до двух знаков после запятой.

отверстие: μ = 25,03 mm, σ = 0,015 mmвал: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm

P =

7.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 30 элементов имеет среднее 45,5 и стандартное отклонение s = 16,5. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите нижнюю границу 95 % доверительного интервала для среднего.

n = 30x̄ = 45,5s = 16,595%t(29) = 2,045

нижняя граница =

8.Доверительные интервалыСложная

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 18. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 90 % доверительного интервала для среднего не превышала 5?

σ = 18E = 590%

n =

9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 64 студентов имеет средний балл 198,3 и выборочное стандартное отклонение 15. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 198,3s = 15n = 64

t =

10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Односторонний z-критерий при α = 0,01 должен обнаруживать сдвиг среднего на 5 единиц с мощностью 95 %. Стандартное отклонение равно 30. Найдите минимальный объём выборки n.

α = 0,01мощность = 95%δ = 5σ = 30z_α = 2,326z_β = 1,645

n =

11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 5 пар наблюдений x = часов подготовки и y = балл за экзамен. Найдите коэффициент детерминации r² прямой наименьших квадратов.

n = 5

r² =

12.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 5 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Спрогнозируйте ŷ при x = 8.

n = 5x = 8

ŷ =

3Растворы

1.Описательная статистика

Ответ: s = 11,93

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 222/5 = 44,4

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = 11,6² + 4,6² + (−8,4)² + 8,6² + (−16,4)² = 569,2

Стандартное отклонение

s = √(569,2/4) = 11,93

Ответ

s = 11,93

2.Описательная статистика

Ответ: z = 0,6

Стандартизуйте

z = (103 − 100)/5 = 0,6

Ответ

z = 0,6

3.Вероятность

Ответ: σ = 1,359

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 0·0,35 + 1·0,25 + 2·0,05 + 3·0,3 + 4·0,05 = 1,45

Среднее квадратов

E(X²) = 0·0,35 + 1·0,25 + 4·0,05 + 9·0,3 + 16·0,05 = 3,95

Дисперсия

Var(X) = 3,95 − 1,45² = 1,848

σ = √1,848 = 1,359

Ответ

σ = 1,359

4.Вероятность

Ответ: E(G) = 1,5 €

Чистые исходы

G: 4 (p = 0,3), 49 (p = 0,02), −1 (p = 0,68)

Математическое ожидание

E(G) = 4·0,3 + 49·0,02 − 1·0,68 = 1,5 €

Ответ

E(G) = 1,5 €

Положительное значение означает, что в среднем вы выигрываете деньги.

5.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,9772

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение суммы

μ_T = 400 g, σ_T = 1,2·√10 = 3,795 g

Стандартизуйте

z = (407,6 − 400)/3,795 = 2

Вероятность

P = Φ(2) = 0,9772

Ответ

P = 0,9772

6.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,8849

Распределение разности

μ = 25,03 − 25 = 0,03 mm, σ = 0,025 mm

Стандартизуйте

z = (0 − 0,03)/0,025 = −1,2

Вероятность

P = 1 − Φ(−1,2) = 0,8849

Ответ

P = 0,8849

7.Доверительные интервалы

Ответ: нижняя граница = 39,34

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 29, t = 2,045

Предельная ошибка

E = 2,045·16,5/√30 = 6,161

Интервал

45,5 ± 6,161 → [39,34, 51,66]

Ответ

нижняя граница = 39,34

8.Доверительные интервалы

Ответ: n = 36

Выразите n

n = (1,645·18/5)² = 35,07

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 36

Ответ

n = 36

9.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = −0,9067

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 15/√64 = 15/8 = 1,875

Статистика критерия

t = (198,3 − 200)/1,875 = −0,9067

Ответ

t = −0,9067

t_{0,025; df = 63} = 1,998

|t| < 1.998, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

10.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: n = 568

Объём выборки для критерия: чтобы обнаружить истинный сдвиг δ с мощностью 1 − β одностронним z-критерием на уровне α, стандартная ошибка должна удовлетворять δ = (z_α + z_β)·σ/√n, поэтому n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² с округлением вверх.

Выразите n

n = ((2,326 + 1,645)·30/5)² = 567,7

Округлите вверх

n = 568

Ответ

n = 568

11.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r² = 0,9885

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 35/5 = 7

ȳ = 408/5 = 81,6

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 242

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1481

Коэффициент детерминации

r² = 242²/(40·1481) = 0,9885

Ответ

r² = 0,9885

Прямая объясняет около 98,85% вариации y.

12.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: ŷ = 46,3

Средние

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 197/5 = 39,4

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 92

Линия регрессии

b = 92/40 = 2,3

a = 39,4 − 2,3·5 = 27,9

ŷ = 27,9 + 2,3·x

Прогноз

ŷ = 27,9 + 2,3·8 = 46,3

Ответ

ŷ = 46,3

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1