Основы статистики: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 10, 56, 23, 53, 44, 47, 13.

n = 7

s =

2.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 50 и стандартным отклонением 10. Какая доля P значений меньше 56?

μ = 50σ = 10x = 56

P =

3.ВероятностьСредняя

Для показанного распределения найдите дисперсию Var(X) величины X.

x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,35, 0,3

Var(X) =

4.ВероятностьСложная

X имеет показанное распределение, а Y = 10X + 20. Найдите стандартное отклонение σ_Y величины Y.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,2, 0,35, 0,15, 0,3Y = 10X + 20

σ_Y =

5.Нормальное распределениеСредняя

Перетащите z так, чтобы закрашенная площадь между −z и z под стандартной нормальной кривой была равна 0,8355. Найдите z с точностью до двух знаков.

A = 0,8355

z =

6.Нормальное распределениеСложная

Распределение «значения роста взрослых мужчин» нормальное: среднее 178 cm, стандартное отклонение 7 cm. Перетащите границу так, чтобы закрашенные нижние 15% были слева от неё. Найдите границу x.

μ = 178 cmσ = 7 cm15%

x = cm

7.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 21 элементов имеет среднее 111,5 и стандартное отклонение s = 13. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите предельную ошибку E 95 % доверительного интервала для среднего.

n = 21x̄ = 111,5s = 1395%t(20) = 2,086

E =

8.Доверительные интервалыСложная

Испытываются два удобрения. Группа участков 1: 10 участков, средний урожай 83 kg, стандартное отклонение 7 kg. Группа участков 2: 7 участков, среднее 72 kg, стандартное отклонение 6 kg. Считайте дисперсии равными (объединённый t-критерий, df = n₁ + n₂ − 2). Найдите предельную ошибку E 90 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.

n₁ = 10x̄₁ = 83s₁ = 7n₂ = 7x̄₂ = 72s₂ = 690%t(15) = 1,753

E = kg

9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Две производственные линии изготавливают одну и ту же деталь. Линия 1: выборка из 50 деталей имеет среднюю длину 132 mm, известное стандартное отклонение линии 11 mm. Линия 2: выборка из 50 деталей имеет среднее 138,5 mm, известное стандартное отклонение 10 mm. Найдите статистику критерия z для H₀: μ₁ = μ₂, принимая разность как x̄₁ − x̄₂ (линия 1 минус линия 2).

n₁ = 50x̄₁ = 132 mmσ₁ = 11 mmn₂ = 50x̄₂ = 138,5 mmσ₂ = 10 mm

z =

10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Односторонний z-критерий при α = 0,01 должен обнаруживать сдвиг среднего на 2,5 единиц с мощностью 80 %. Стандартное отклонение равно 8. Найдите минимальный объём выборки n.

α = 0,01мощность = 80%δ = 2,5σ = 8z_α = 2,326z_β = 0,842

n =

11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 5 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Найдите коэффициент детерминации r² прямой наименьших квадратов.

n = 5

r² =

12.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 5 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Спрогнозируйте ŷ при x = 22.

n = 5x = 22

ŷ =

3Растворы

1.Описательная статистика

Ответ: s = 19,33

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 246/7 = 35,14

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = (−25,14)² + 20,86² + (−12,14)² + 17,86² + 8,857² + 11,86² + (−22,14)² = 2243

Стандартное отклонение

s = √(2243/6) = 19,33

Ответ

s = 19,33

2.Описательная статистика

Ответ: P = 0,7257

Стандартизуйте

z = 0,6

Таблица нормального распределения

Φ(0,6) = 0,7257

P = 0,7257

Ответ

P = 0,7257

3.Вероятность

Ответ: Var(X) = 0,6475

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 0·0,35 + 1·0,35 + 2·0,3 = 0,95

Среднее квадратов

E(X²) = 0·0,35 + 1·0,35 + 4·0,3 = 1,55

Дисперсия

Var(X) = 1,55 − 0,95² = 0,6475

Ответ

Var(X) = 0,6475

4.Вероятность

Ответ: σ_Y = 11,17

Разброс X

μ = 1,55, Var(X) = 1,248, σ_X = 1,117

Линейное преобразование

σ_Y = |10|·1,117 = 11,17

Ответ

σ_Y = 11,17

Среднее действительно сдвигается: E(Y) = 10·1,55 + 20 = 35,5.

5.Нормальное распределение

Ответ: z = 1,39

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева от z

Φ(z) = (1 + 0,8355)/2 = 0,9177

Читайте таблицу z в обратную сторону

Найдите 0,9177 внутри таблицы и считайте z.

z = 1,39

Ответ

z = 1,39

6.Нормальное распределение

Ответ: x = 170,7 cm

Площадь слева

Φ(z) = 0,15

z из таблицы

z ≈ −1,04

Возврат к исходным единицам

x = 178 − 1,04·7 = 170,7 cm

Ответ

x = 170,7 cm

7.Доверительные интервалы

Ответ: E = 5,918

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 20, t = 2,086

Предельная ошибка

E = 2,086·13/√21 = 5,918

Ответ

E = 5,918

8.Доверительные интервалы

Ответ: E = 5,717 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Объединённое стандартное отклонение

s_p² = (9·7² + 6·6²)/15 = 43,8

s_p = 6,618

Предельная ошибка

E = 1,753·6,618·√(1/10 + 1/7) = 5,717

Ответ

E = 5,717 kg

9.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: z = −3,092

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Стандартная ошибка разности

SE = √(11²/50 + 10²/50) = √4,42 = 2,102

Статистика критерия

z = (132 − 138,5)/2,102 = −3,092

Ответ

z = −3,092

|z| > 1,96, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

10.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: n = 103

Объём выборки для критерия: чтобы обнаружить истинный сдвиг δ с мощностью 1 − β одностронним z-критерием на уровне α, стандартная ошибка должна удовлетворять δ = (z_α + z_β)·σ/√n, поэтому n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² с округлением вверх.

Выразите n

n = ((2,326 + 0,842)·8/2,5)² = 102,8

Округлите вверх

n = 103

Ответ

n = 103

11.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r² = 0,9368

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 288/5 = 57,6

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 160

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 683,2

Коэффициент детерминации

r² = 160²/(40·683,2) = 0,9368

Ответ

r² = 0,9368

Прямая объясняет около 93,68% вариации y.

12.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: ŷ = 113,8

Средние

x̄ = 95/5 = 19

ȳ = 490/5 = 98

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 210

Линия регрессии

b = 210/40 = 5,25

a = 98 − 5,25·19 = −1,75

ŷ = −1,75 + 5,25·x

Прогноз

ŷ = −1,75 + 5,25·22 = 113,8

Ответ

ŷ = 113,8

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1