Основы статистики: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 43, 59, 17, 54, 36, 41.

n = 6

s =

2.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 60 и стандартным отклонением 8. Какая доля P значений меньше 56?

μ = 60σ = 8x = 56

P =

3.ВероятностьСредняя

Правильный кубик бросают 5 раз. Какова вероятность P выбросить хотя бы одну шестёрку?

n = 5

P =

4.ВероятностьСложная

Игра стоит €5. Вы выигрываете €20 с вероятностью 0,25 и €50 с вероятностью 0,02; в остальных случаях вы ничего не выигрываете. Ставка не возвращается. Найдите ожидаемый чистый выигрыш E(G) за одну игру.

ставка = €5€20: p = 0,25€50: p = 0,02

E(G) = €

5.Нормальное распределениеСредняя

Пусть баллы за экзамен распределены нормально со средним 65 баллов и стандартным отклонением 10 баллов. Какая доля значений лежит между 53 и 70 баллов? Дайте P в виде десятичной дроби.

μ = 65σ = 10x₁ = 53x₂ = 70

P =

6.Нормальное распределениеСложная

Диаметры отверстий D нормально распределены со средним 25,05 mm и стандартным отклонением 0,02 mm. Диаметры валов d независимы и нормально распределены со средним 25 mm и стандартным отклонением 0,01 mm. Случайно выбранный вал подходит, если D − d > 0. Найдите вероятность P того, что он подходит. Округлите z до двух знаков после запятой.

отверстие: μ = 25,05 mm, σ = 0,02 mmвал: μ = 25 mm, σ = 0,01 mm

P =

7.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 11 элементов имеет среднее 35,5 и стандартное отклонение s = 10,5. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите предельную ошибку E 95 % доверительного интервала для среднего.

n = 11x̄ = 35,5s = 10,595%t(10) = 2,228

E =

8.Доверительные интервалыСложная

Диаметры 11 обработанных валов имеют выборочное стандартное отклонение 4 µm. Считая диаметры нормально распределёнными, найдите границу 95 % доверительного интервала для стандартного отклонения генеральной совокупности — нижняя граница σ. При df = 10 2,5 % распределения χ² лежит ниже 3,247 и 2,5 % — выше 20,483.

n = 11s = 4 µmχ² = 3,247, 20,483

σ = µm

9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

13 сотрудников проходят тест на скорость печати до и после обучающего курса. Для каждого записывается разность d = после − до (слов в минуту). Средняя разность равна 9,39, стандартное отклонение разностей — 9,4. Найдите статистику парного критерия t для H₀: μ_d = 0.

n = 13d̄ = 9,39s_d = 9,4

t =

10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Какой должна быть выборка, чтобы 90 % доверительный интервал для среднего имел предельную ошибку не более 2,5? Стандартное отклонение — 12. Найдите наименьший объём выборки n.

σ = 12E = 2,590%

n =

11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 6 пар наблюдений x = часов подготовки и y = балл за экзамен. Даны их суммы. Найдите по этим суммам коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 6Σx = 48Σy = 451Σx² = 454Σy² = 35087Σxy = 3893

r =

12.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 6 пар наблюдений x = часов подготовки и y = балл за экзамен. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Спрогнозируйте ŷ при x = 6,5.

n = 6x = 6,5

ŷ =

3Растворы

1.Описательная статистика

Ответ: s = 14,8

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 250/6 = 41,67

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = 1,333² + 17,33² + (−24,67)² + 12,33² + (−5,667)² + (−0,6667)² = 1095

Стандартное отклонение

s = √(1095/5) = 14,8

Ответ

s = 14,8

2.Описательная статистика

Ответ: P = 0,3085

Стандартизуйте

z = −0,5

Таблица нормального распределения

Φ(−0,5) = 0,3085

P = 0,3085

Ответ

P = 0,3085

3.Вероятность

Ответ: P = 0,5981

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Противоположное событие

P(нет шестёрки) = (5/6)⁵ = 0,4019

P = 1 − 0,4019 = 0,5981

Ответ

P = 0,5981

4.Вероятность

Ответ: E(G) = 1 €

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Чистые исходы

G: 15 (p = 0,25), 45 (p = 0,02), −5 (p = 0,73)

Математическое ожидание

E(G) = 15·0,25 + 45·0,02 − 5·0,73 = 1 €

Ответ

E(G) = 1 €

Положительное значение означает, что в среднем вы выигрываете деньги.

5.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,5764

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z-оценки

z₁ = (53 − 65)/10 = −1,2

z₂ = (70 − 65)/10 = 0,5

Площадь между

P = Φ(0,5) − Φ(−1,2) = 0,6915 − 0,1151 = 0,5764

Ответ

P = 0,5764

6.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,9875

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение разности

μ = 25,05 − 25 = 0,05 mm, σ = 0,02236 mm

Стандартизуйте

z = (0 − 0,05)/0,02236 = −2,24

Вероятность

P = 1 − Φ(−2,24) = 0,9875

Ответ

P = 0,9875

7.Доверительные интервалы

Ответ: E = 7,054

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 10, t = 2,228

Предельная ошибка

E = 2,228·10,5/√11 = 7,054

Ответ

E = 7,054

8.Доверительные интервалы

Ответ: σ = 2,795 µm

Интервал для дисперсии: (n − 1)s²/σ² имеет распределение χ² с n − 1 степенями свободы. 95 % интервал для σ² простирается от (n − 1)s², делённого на верхнее значение χ² (выше него 2,5 %), до (n − 1)s², делённого на нижнее значение χ² (ниже него 2,5 %); интервал для σ получают извлечением квадратного корня из обеих границ. Он несимметричен относительно s.

Сумма квадратов

(n − 1)s² = 10·4² = 160

Границы для σ²

160/20,483 = 7,811

160/3,247 = 49,28

Граница для σ

σ = √7,811 = 2,795 µm

Ответ

σ = 2,795 µm

95 % интервал для σ: [2,795, 7,02] µm.

9.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = 3,602

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка средней разности

SE = 9,4/√13 = 2,607

Статистика критерия

t = 9,39/2,607 = 3,602

Ответ

t = 3,602

При df = 12 двустороннее критическое значение на уровне 5 % равно 2,179; |t| больше, поэтому H₀ отвергается.

10.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: n = 63

Выразите n

n = (1,645·12/2,5)² = 62,35

Округлите вверх

n = 63

Ответ

n = 63

11.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,9888

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Центрированные суммы

S_xy = 3893 − 48·451/6 = 285

S_xx = 454 − 48²/6 = 70

S_yy = 35087 − 451²/6 = 1187

Коэффициент корреляции

r = 285/√(70·1187) = 0,9888

Ответ

r = 0,9888

12.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: ŷ = 80,53

Средние

x̄ = 27/6 = 4,5

ȳ = 416/6 = 69,33

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 98

Линия регрессии

b = 98/17,5 = 5,6

a = 69,33 − 5,6·4,5 = 44,13

ŷ = 44,13 + 5,6·x

Прогноз

ŷ = 44,13 + 5,6·6,5 = 80,53

Ответ

ŷ = 80,53

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1