Основы статистики: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 18, 35, 28, 52, 19.

n = 5

s =

2.Описательная статистикаСложная

Баллы за экзамен распределены нормально со средним 170 и стандартным отклонением 5. Найдите z-оценку z для результата 175.

μ = 170σ = 5x = 175

z =

3.ВероятностьСредняя

В мешочке 4 красных и 3 синих шаров. Вы вынимаете два шара, не возвращая первый. Какова вероятность P, что оба красные?

4 / 3

P =

4.ВероятностьСложная

В тесте 12 вопросов с вариантами ответов. Студентка, которая угадывает, отвечает верно на каждый с вероятностью 0,6, независимо. Какова вероятность P ровно 2 верных ответов?

n = 12p = 0,6k = 2

P =

5.Нормальное распределениеСредняя

X нормальна со средним 60 s и стандартным отклонением 5 s; Y независима и нормальна со средним 45 s и стандартным отклонением 4 s. Найдите вероятность P того, что X + Y больше 98,6 s. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ_X = 60, σ_X = 5μ_Y = 45, σ_Y = 4X + Y > 98,6 s

P =

6.Нормальное распределениеСложная

Диаметры отверстий D нормально распределены со средним 25,02 mm и стандартным отклонением 0,015 mm. Диаметры валов d независимы и нормально распределены со средним 25 mm и стандартным отклонением 0,01 mm. Случайно выбранный вал подходит, если D − d > 0. Найдите вероятность P того, что он подходит. Округлите z до двух знаков после запятой.

отверстие: μ = 25,02 mm, σ = 0,015 mmвал: μ = 25 mm, σ = 0,01 mm

P =

7.Доверительные интервалыСредняя

Сравнивается время работы аккумулятора двух моделей телефонов. Модель 1: 80 телефонов, среднее 86,5 h, известное стандартное отклонение 10 h. Модель 2: 60 телефонов, среднее 86 h, известное стандартное отклонение 20 h. Найдите предельную ошибку E 95 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.

n₁ = 80x̄₁ = 86,5 hσ₁ = 10 hn₂ = 60x̄₂ = 86 hσ₂ = 20 h95%

E = h

8.Доверительные интервалыСложная

Испытываются два удобрения. Группа участков 1: 6 участков, средний урожай 25,5 kg, стандартное отклонение 1,5 kg. Группа участков 2: 6 участков, среднее 21 kg, стандартное отклонение 4 kg. Считайте дисперсии равными (объединённый t-критерий, df = n₁ + n₂ − 2). Найдите предельную ошибку E 95 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.

n₁ = 6x̄₁ = 25,5s₁ = 1,5n₂ = 6x̄₂ = 21s₂ = 495%t(10) = 2,228

E = kg

9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Утверждается, что среднее генеральной совокупности равно 500; стандартное отклонение генеральной совокупности известно и равно 48. Случайная выборка из 144 наблюдений имеет среднее 495,44. Проверьте H₀: μ = 500 против H₁: μ ≠ 500. Найдите p-значение p.

μ₀ = 500σ = 48n = 144x̄ = 495,44H₁: μ ≠ μ₀

p =

10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Односторонний z-критерий при α = 0,05 должен обнаруживать сдвиг среднего на 3 единиц с мощностью 80 %. Стандартное отклонение равно 21. Найдите минимальный объём выборки n.

α = 0,05мощность = 80%δ = 3σ = 21z_α = 1,645z_β = 0,842

n =

11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 5 пар наблюдений x = часов подготовки и y = балл за экзамен. Найдите коэффициент детерминации r² прямой наименьших квадратов.

n = 5

r² =

12.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 5 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. При каком значении x прямая прогнозирует ŷ = 52?

n = 5ŷ = 52

x =

3Растворы

1.Описательная статистика

Ответ: s = 13,94

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 152/5 = 30,4

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = (−12,4)² + 4,6² + (−2,4)² + 21,6² + (−11,4)² = 777,2

Стандартное отклонение

s = √(777,2/4) = 13,94

Ответ

s = 13,94

2.Описательная статистика

Ответ: z = 1

Стандартизуйте

z = (175 − 170)/5 = 1

Ответ

z = 1

3.Вероятность

Ответ: P = 0,2857

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Первое и второе извлечение

P = 4/7 · 3/6 = 12/42 = 0,2857

Ответ

P = 0,2857

4.Вероятность

Ответ: P = 0,002491

Формула Бернулли

P(X = 2) = 66·0,6²·0,4¹⁰ = 66·0,36·0,0001049 = 0,002491

Ответ

P = 0,002491

5.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,8413

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение суммы

μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6,403 s

Стандартизуйте

z = (98,6 − 105)/6,403 = −1

Верхний хвост

P = 1 − Φ(−1) = 1 − 0,1587 = 0,8413

Ответ

P = 0,8413

6.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,8665

Распределение разности

μ = 25,02 − 25 = 0,02 mm, σ = 0,01803 mm

Стандартизуйте

z = (0 − 0,02)/0,01803 = −1,11

Вероятность

P = 1 − Φ(−1,11) = 0,8665

Ответ

P = 0,8665

7.Доверительные интервалы

Ответ: E = 5,515 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Точечная оценка

x̄₁ − x̄₂ = 86,5 − 86 = 0,5

Стандартная ошибка

SE = √(10²/80 + 20²/60) = 2,814

Предельная ошибка

E = 1,96·2,814 = 5,515

Ответ

E = 5,515 h

Интервал содержит 0, поэтому данные не показывают значимого различия.

8.Доверительные интервалы

Ответ: E = 3,886 kg

Объединённое стандартное отклонение

s_p² = (5·1,5² + 5·4²)/10 = 9,125

s_p = 3,021

Предельная ошибка

E = 2,228·3,021·√(1/6 + 1/6) = 3,886

Ответ

E = 3,886 kg

9.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: p = 0,2543

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Статистика критерия

SE = σ/√n = 48/√144 = 4

z = (495,44 − 500)/4 = −1,14

Площадь хвоста

Φ(1,14) = 0,8729

1 − Φ(1,14) = 0,1271

p-значение

p = 2·0,1271 = 0,2543

Ответ

p = 0,2543

p > 0,05, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 %.

10.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: n = 304

Объём выборки для критерия: чтобы обнаружить истинный сдвиг δ с мощностью 1 − β одностронним z-критерием на уровне α, стандартная ошибка должна удовлетворять δ = (z_α + z_β)·σ/√n, поэтому n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² с округлением вверх.

Выразите n

n = ((1,645 + 0,842)·21/3)² = 303,1

Округлите вверх

n = 304

Ответ

n = 304

11.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r² = 0,9816

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 368/5 = 73,6

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 246

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1541

Коэффициент детерминации

r² = 246²/(40·1541) = 0,9816

Ответ

r² = 0,9816

Прямая объясняет около 98,16% вариации y.

12.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: x = 15,92

Средние

x̄ = 95/5 = 19

ȳ = 307/5 = 61,4

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 122

Линия регрессии

b = 122/40 = 3,05

a = 61,4 − 3,05·19 = 3,45

ŷ = 3,45 + 3,05·x

Найдите x

x = (52 − 3,45)/3,05 = 15,92

Ответ

x = 15,92

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1