Основы статистики: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее
x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана
срединное значение упорядоченных данных
z-оценка
z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение
68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие
P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Нормальное распределение

z-оценка
z = (x − μ)/σ
Меньше x
P(X < x) = Φ(z)
Больше x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между
Φ(z2) − Φ(z1)
Процентиль
x = μ + z·σ

Метод

  1. Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
  2. Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
  3. Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
  4. Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно
x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки
n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

  1. Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
  2. Найдите критическое значение для уровня доверия.
  3. Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
  4. Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-тест для среднего
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%
отвергните H0, если |z| > 1,96
Доверительный интервал
x̄ ± z·σ/√n

Метод

  1. Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
  2. Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
  3. Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
  4. Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент
b = Sxy/Sxx
Свободный член
a = ȳ − b·x̄
Корреляция
r = Sxy/√(SxxSyy)
Остаток
e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Описательная статистикаСредняя
152025303540

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 13, 36, 31, 28, 26, 28, 42.

n = 7
s =
2.Описательная статистикаСложная
z −2−1012

Баллы за экзамен распределены нормально со средним 50 и стандартным отклонением 5. Найдите z-оценку z для результата 45.

μ = 50σ = 5x = 45
z =
3.ВероятностьСредняя
P(хотя бы одна шестёрка) = ??1?2?3?4P(шестёрка) = 1/6 при каждом броске

Правильный кубик бросают 4 раз. Какова вероятность P выбросить хотя бы одну шестёрку?

n = 4
P =
4.ВероятностьСложная
n = 7, p = 0,5: P(X = 5) = ?k01234567

В тесте 7 вопросов с вариантами ответов. Студентка, которая угадывает, отвечает верно на каждый с вероятностью 0,5, независимо. Какова вероятность P ровно 5 верных ответов?

n = 7p = 0,5k = 5
P =
5.Нормальное распределениеСредняя
−3−2−10123zзакрашенная площадь между −z и z = 0,8473

Перетащите z так, чтобы закрашенная площадь между −z и z под стандартной нормальной кривой была равна 0,8473. Найдите z с точностью до двух знаков.

A = 0,8473
z =
6.Нормальное распределениеСложная
μ = 65x = ?10%

Пусть баллы за экзамен распределены нормально со средним 65 баллов и стандартным отклонением 10 баллов. Найдите значение x, ниже которого лежат 10 % значений (10-й процентиль).

μ = 65σ = 10P = 10%
x = баллов
7.Доверительные интервалыСредняя
n = 15, sd​ = 3,20LUd̄ = 0,6E = ?90%

У 15 пациентов измеряют артериальное давление до и после лечения. Разности d = до − после (mmHg) имеют среднее 0,6 и стандартное отклонение 3,2. Найдите предельную ошибку E 90 % доверительного интервала для средней разности.

n = 15d̄ = 0,6sd = 3,290%t(14) = 1,761
E = mmHg
8.Доверительные интервалыСложная
σ = 33, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 590%

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 33. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 90 % доверительного интервала для среднего не превышала 5?

σ = 33E = 590%
n =
9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
−2,3652,365t = ?df = 7

8 сотрудников проходят тест на скорость печати до и после обучающего курса. Для каждого записывается разность d = после − до (слов в минуту). Средняя разность равна −1,79, стандартное отклонение разностей — 2,3. Найдите статистику парного критерия t для H₀: μd = 0.

n = 8d̄ = −1,79sd = 2,3
t =
10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
μ₀x̄c

Односторонний z-критерий для H₀: μ = 100 против H₁: μ > 100 проводится при α = 0,05 по выборке объёмом 25; стандартное отклонение известно и равно 15. В действительности среднее равно 109,3. Найдите вероятность ошибки второго рода β в процентах.

μ₀ = 100μ = 109,3σ = 15n = 25α = 0,05
β = %
11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя
xy264146228301036xy510102030

В таблице даны 5 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Даны их суммы. Найдите по этим суммам коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 5Σx = 30Σy = 108Σx² = 220Σy² = 2912Σxy = 800
r =
12.Линейная регрессия и корреляцияСложная
xy126223321423520617xy2462025ŷ = 21

В таблице даны 6 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. При каком значении x прямая прогнозирует ŷ = 21?

n = 6ŷ = 21
x =

3Растворы

1.Описательная статистика

Ответ: s = 9,026

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 204/7 = 29,14

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = (−16,14)² + 6,857² + 1,857² + (−1,143)² + (−3,143)² + (−1,143)² + 12,86² = 488,9

Стандартное отклонение

s = √(488,9/6) = 9,026

Ответ

s = 9,026
2.Описательная статистика

Ответ: z = −1

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Стандартизуйте

z = (45 − 50)/5 = −1

Ответ

z = −1
3.Вероятность

Ответ: P = 0,5177

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Противоположное событие

P(нет шестёрки) = (5/6)4 = 0,4823
P = 1 − 0,4823 = 0,5177

Ответ

P = 0,5177
4.Вероятность

Ответ: P = 0,1641

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Формула Бернулли

P(X = 5) = 21·0,55·0,52 = 21·0,03125·0,25 = 0,1641

Ответ

P = 0,1641
5.Нормальное распределение

Ответ: z = 1,43

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева от z

Φ(z) = (1 + 0,8473)/2 = 0,9236

Читайте таблицу z в обратную сторону

Найдите 0,9236 внутри таблицы и считайте z.

z = 1,43

Ответ

z = 1,43
6.Нормальное распределение

Ответ: x = 52,18 баллов

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z для процентиля

Φ(z) = 0,1 → z = −1,282

Обратно к x

x = 65 + −1,282·10 = 52,18 баллов

Ответ

x = 52,18 баллов
7.Доверительные интервалы

Ответ: E = 1,455 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Критическое значение

df = 14, t = 1,761

Предельная ошибка

E = 1,761·3,2/√15 = 1,455

Ответ

E = 1,455 mmHg
8.Доверительные интервалы

Ответ: n = 118

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Выразите n

n = (1,645·33/5)² = 117,9

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 118

Ответ

n = 118
9.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = −2,201

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Стандартная ошибка средней разности

SE = 2,3/√8 = 0,8132

Статистика критерия

t = −1,79/0,8132 = −2,201

Ответ

t = −2,201

При df = 7 двустороннее критическое значение на уровне 5 % равно 2,365; |t| меньше, поэтому H₀ не отвергается.

10.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: β = 7,283 %

Мощность критерия: мощность = 1 − β — вероятность отвергнуть H₀, когда она ложна. Найдите границу x̄c по μ₀ и z_α, затем вычислите вероятность оказаться за x̄c при истинном среднем: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Критическое выборочное среднее

SE = 15/√25 = 3
x̄c = 100 + 1,645·3 = 104,9

z при истинном среднем

z = (104,9 − 109,3)/3 = −1,455

Ошибка второго рода

мощность = P(Z > −1,455) = 92,72%
β = 100% − 92,72% = 7,283%

Ответ

β = 7,283%
11.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,9986

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Центрированные суммы

Sxy = 800 − 30·108/5 = 152
Sxx = 220 − 30²/5 = 40
Syy = 2912 − 108²/5 = 579,2

Коэффициент корреляции

r = 152/√(40·579,2) = 0,9986

Ответ

r = 0,9986
12.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: x = 3,949

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 130/6 = 21,67

Суммы квадратов и произведений

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −26

Линия регрессии

b = −26/17,5 = −1,486
a = 21,67 − (−1,486)·3,5 = 26,87
ŷ = 26,87 − 1,486·x

Найдите x

x = (21 − 26,87)/(−1,486) = 3,949

Ответ

x = 3,949

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1