Основы статистики: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 24, 43, 31, 33, 55.

n = 5

s =

2.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 50 и стандартным отклонением 5. Какая доля P значений меньше 45?

μ = 50σ = 5x = 45

P =

3.ВероятностьСредняя

В мешочке 3 красных и 6 синих шаров. Вы вынимаете два шара, не возвращая первый. Какова вероятность P, что оба красные?

3 / 6

P =

4.ВероятностьСложная

Испытывают 9 компонентов, каждый выходит из строя независимо с вероятностью 0,6. Какова вероятность P, что откажет не более одного?

n = 9p = 0,6

P =

5.Нормальное распределениеСредняя

Массы объектов (пассажиры с багажом) независимы и нормально распределены со средним 85 kg и стандартным отклонением 12 kg. Найдите вероятность P того, что общая масса 16 из них меньше 1384 kg. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ = 85 kgσ = 12 kgn = 16< 1384 kg

P =

6.Нормальное распределениеСложная

Пусть сроки доставки распределены нормально со средним 32 min и стандартным отклонением 6 min. Найдите значение x, ниже которого лежат 90 % значений (90-й процентиль).

μ = 32σ = 6P = 90%

x = min

7.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 21 элементов имеет среднее 57,5 и стандартное отклонение s = 5,5. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите нижнюю границу 90 % доверительного интервала для среднего.

n = 21x̄ = 57,5s = 5,590%t(20) = 1,725

нижняя граница =

8.Доверительные интервалыСложная

Испытываются два удобрения. Группа участков 1: 18 участков, средний урожай 77 kg, стандартное отклонение 5 kg. Группа участков 2: 8 участков, среднее 78,5 kg, стандартное отклонение 9,5 kg. Считайте дисперсии равными (объединённый t-критерий, df = n₁ + n₂ − 2). Найдите верхнюю границу 90 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.

n₁ = 18x̄₁ = 77s₁ = 5n₂ = 8x̄₂ = 78,5s₂ = 9,590%t(24) = 1,711

верхняя граница = kg

9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 25 студентов имеет средний балл 128,4 и выборочное стандартное отклонение 20. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 128,4s = 20n = 25

t =

10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Выборка из 100 измерений имеет среднее 45. Стандартное отклонение генеральной совокупности — 20. Найдите нижнюю границу L 90 % доверительного интервала для среднего.

x̄ = 45σ = 20n = 10090%

L =

11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 5 пар наблюдений x = часов подготовки и y = балл за экзамен. Найдите коэффициент детерминации r² прямой наименьших квадратов.

n = 5

r² =

12.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 6 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Получено новое наблюдение (3, 5). Найдите его остаток e = y − ŷ.

n = 6(3, 5)

e =

3Растворы

1.Описательная статистика

Ответ: s = 12,05

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 186/5 = 37,2

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = (−13,2)² + 5,8² + (−6,2)² + (−4,2)² + 17,8² = 580,8

Стандартное отклонение

s = √(580,8/4) = 12,05

Ответ

s = 12,05

2.Описательная статистика

Ответ: P = 0,1587

Стандартизуйте

z = −1

Таблица нормального распределения

Φ(−1) = 0,1587

P = 0,1587

Ответ

P = 0,1587

3.Вероятность

Ответ: P = 0,08333

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Первое и второе извлечение

P = 3/9 · 2/8 = 6/72 = 0,08333

Ответ

P = 0,08333

4.Вероятность

Ответ: P = 0,003801

Ноль и один отказ

P(X = 0) = 0,4⁹ = 0,0002621

P(X = 1) = 9·0,6·0,4⁸ = 0,003539

Сложите

P = 0,0002621 + 0,003539 = 0,003801

Ответ

P = 0,003801

5.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,6915

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение суммы

μ_T = 1360 kg, σ_T = 12·√16 = 48 kg

Стандартизуйте

z = (1384 − 1360)/48 = 0,5

Вероятность

P = Φ(0,5) = 0,6915

Ответ

P = 0,6915

6.Нормальное распределение

Ответ: x = 39,69 min

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z для процентиля

Φ(z) = 0,9 → z = 1,282

Обратно к x

x = 32 + 1,282·6 = 39,69 min

Ответ

x = 39,69 min

7.Доверительные интервалы

Ответ: нижняя граница = 55,43

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 20, t = 1,725

Предельная ошибка

E = 1,725·5,5/√21 = 2,07

Интервал

57,5 ± 2,07 → [55,43, 59,57]

Ответ

нижняя граница = 55,43

8.Доверительные интервалы

Ответ: верхняя граница = 3,324 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Объединённое стандартное отклонение

s_p² = (17·5² + 7·9,5²)/24 = 44,03

s_p = 6,636

Предельная ошибка

E = 1,711·6,636·√(1/18 + 1/8) = 4,824

Интервал

−1,5 ± 4,824 → [−6,324, 3,324]

Ответ

верхняя граница = 3,324 kg

9.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = 2,1

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 20/√25 = 20/5 = 4

Статистика критерия

t = (128,4 − 120)/4 = 2,1

Ответ

t = 2,1

t_{0,025; df = 24} = 2,064

|t| > 2,064, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

10.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: L = 41,71

Предельная ошибка

E = 1,645·20/√100 = 3,29

Граница интервала

L = 45 − 3,29 = 41,71

Ответ

L = 41,71

11.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r² = 0,6682

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 285/5 = 57

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 21

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 66

Коэффициент детерминации

r² = 21²/(10·66) = 0,6682

Ответ

r² = 0,6682

Прямая объясняет около 66,82% вариации y.

12.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: e = −3,41

Средние

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 82/6 = 13,67

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 92

Линия регрессии

b = 92/70 = 1,314

a = 13,67 − 1,314·7 = 4,467

ŷ = 4,467 + 1,314·x

Прогнозируемое значение

ŷ = 4,467 + 1,314·3 = 8,41

Остаток

e = 5 − 8,41 = −3,41

Ответ

e = −3,41

Точка лежит ниже прямой.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1