Описательная статистика
- Среднее
- x̄ = Σx/n
- Выборочное стандартное отклонение
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Медиана
- срединное значение упорядоченных данных
- z-оценка
- z = (x − μ)/σ
- Нормальное распределение
- 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ
Основы статистики: шпаргалка-пакет
Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.
1Формулы и методы
Вероятность
- Противоположное событие
- P(not A) = 1 − P(A)
- Правило сложения
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Независимые события
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Условная вероятность
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Биномиальное распределение
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Нормальное распределение
- z-оценка
- z = (x − μ)/σ
- Меньше x
- P(X < x) = Φ(z)
- Больше x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Между
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Процентиль
- x = μ + z·σ
Метод
- Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
- Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
- Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
- Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.
Доверительные интервалы
- σ известно
- x̄ ± z·σ/√n
- σ неизвестно
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Критическое значение z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Объём выборки
- n = (z·σ/E)², rounded up
Метод
- Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
- Найдите критическое значение для уровня доверия.
- Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
- Интервал: x̄ ± E.
Проверка гипотез и доверительные интервалы
- z-тест для среднего
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- t-тест для среднего
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Двусторонний на уровне 5%
- отвергните H0, если |z| > 1,96
- Доверительный интервал
- x̄ ± z·σ/√n
Метод
- Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
- Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
- Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
- Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.
Линейная регрессия и корреляция
- Суммы квадратов
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Угловой коэффициент
- b = Sxy/Sxx
- Свободный член
- a = ȳ − b·x̄
- Корреляция
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Остаток
- e = y − ŷ
2Тренировочные задачи
1.Описательная статистикаСредняя
Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 11, 46, 17, 34, 57, 10, 26.
n = 7
s =
2.Описательная статистикаСложная
Баллы за экзамен распределены нормально со средним 170 и стандартным отклонением 20. Найдите z-оценку z для результата 210.
μ = 170σ = 20x = 210
z =
3.ВероятностьСредняя
В мешочке 5 красных и 3 синих шаров. Вы вынимаете два шара, не возвращая первый. Какова вероятность P, что оба красные?
5 / 3
P =
4.ВероятностьСложная
X имеет показанное распределение, а Y = −2X + 1. Найдите стандартное отклонение σY величины Y.
x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,35, 0,3Y = −2X + 1
σY =
5.Нормальное распределениеСредняя
Пусть значения роста взрослых мужчин распределены нормально со средним 178 cm и стандартным отклонением 7 cm. Какая доля значений лежит между 169,95 и 190,95 cm? Дайте P в виде десятичной дроби.
μ = 178σ = 7x1 = 169,95x2 = 190,95
P =
6.Нормальное распределениеСложная
Распределение «значения роста взрослых мужчин» нормальное: среднее 178 cm, стандартное отклонение 7 cm. Перетащите границу так, чтобы закрашенные верхние 40% были справа от неё. Найдите границу x.
μ = 178 cmσ = 7 cm40%
x = cm
7.Доверительные интервалыСредняя
Сравнивается время работы аккумулятора двух моделей телефонов. Модель 1: 50 телефонов, среднее 75,5 h, известное стандартное отклонение 17 h. Модель 2: 100 телефонов, среднее 87 h, известное стандартное отклонение 14 h. Найдите верхнюю границу 90 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.
n₁ = 50x̄₁ = 75,5 hσ₁ = 17 hn₂ = 100x̄₂ = 87 hσ₂ = 14 h90%
верхняя граница = h
8.Доверительные интервалыСложная
Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 26. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 95 % доверительного интервала для среднего не превышала 0,5?
σ = 26E = 0,595%
n =
9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
6 сотрудников проходят тест на скорость печати до и после обучающего курса. Для каждого записывается разность d = после − до (слов в минуту). Средняя разность равна −7,63, стандартное отклонение разностей — 5,5. Найдите статистику парного критерия t для H₀: μd = 0.
n = 6d̄ = −7,63sd = 5,5
t =
10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
Выборка из 64 измерений имеет среднее 117,8. Стандартное отклонение генеральной совокупности — 12. Найдите верхнюю границу U 95 % доверительного интервала для среднего.
x̄ = 117,8σ = 12n = 6495%
U =
11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя
В таблице даны 6 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Даны их суммы. Найдите по этим суммам коэффициент корреляции Пирсона r.
n = 6Σx = 21Σy = 91Σx² = 91Σy² = 1623Σxy = 254
r =
12.Линейная регрессия и корреляцияСложная
В таблице даны 5 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Спрогнозируйте ŷ при x = 8.
n = 5x = 8
ŷ =
3Растворы
1.Описательная статистика
Ответ: s = 17,96
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Среднее
x̄ = 201/7 = 28,71
Квадраты отклонений
Σ(x − x̄)² = (−17,71)² + 17,29² + (−11,71)² + 5,286² + 28,29² + (−18,71)² + (−2,714)² = 1935
Стандартное отклонение
s = √(1935/6) = 17,96
Ответ
s = 17,96
2.Описательная статистика
Ответ: z = 2
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Стандартизуйте
z = (210 − 170)/20 = 2
Ответ
z = 2
3.Вероятность
Ответ: P = 0,3571
Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Первое и второе извлечение
P = 5/8 · 4/7 = 20/56 = 0,3571
Ответ
P = 0,3571
4.Вероятность
Ответ: σY = 1,609
Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σY = |a|·σX; прибавление константы не меняет разброс.
Разброс X
μ = 0,95, Var(X) = 0,6475, σX = 0,8047
Линейное преобразование
σY = |−2|·0,8047 = 1,609
Ответ
σY = 1,609
Среднее действительно сдвигается: E(Y) = −2·0,95 + 1 = −0,9.
5.Нормальное распределение
Ответ: P = 0,8428
Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.
z-оценки
z₁ = (169,95 − 178)/7 = −1,15
z₂ = (190,95 − 178)/7 = 1,85
Площадь между
P = Φ(1,85) − Φ(−1,15) = 0,9678 − 0,1251 = 0,8428
Ответ
P = 0,8428
6.Нормальное распределение
Ответ: x = 179,8 cm
От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.
Площадь слева
Φ(z) = 0,6
z из таблицы
z ≈ 0,25
Возврат к исходным единицам
x = 178 + 0,25·7 = 179,8 cm
Ответ
x = 179,8 cm
7.Доверительные интервалы
Ответ: верхняя граница = −6,923 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Точечная оценка
x̄₁ − x̄₂ = 75,5 − 87 = −11,5
Стандартная ошибка
SE = √(17²/50 + 14²/100) = 2,782
Предельная ошибка
E = 1,645·2,782 = 4,577
Интервал
−11,5 ± 4,577 → [−16,08, −6,923]
Ответ
верхняя граница = −6,923 h
Интервал не содержит 0, поэтому средние значимо различаются.
8.Доверительные интервалы
Ответ: n = 10388
Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.
Выразите n
n = (1,96·26/0,5)² = 10388
Округлите вверх
Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.
n = 10388
Ответ
n = 10388
9.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: t = −3,398
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Стандартная ошибка средней разности
SE = 5,5/√6 = 2,245
Статистика критерия
t = −7,63/2,245 = −3,398
Ответ
t = −3,398
При df = 5 двустороннее критическое значение на уровне 5 % равно 2,571; |t| больше, поэтому H₀ отвергается.
10.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: U = 120,7
Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).
Предельная ошибка
E = 1,96·12/√64 = 2,94
Граница интервала
U = 117,8 + 2,94 = 120,7
Ответ
U = 120,7
11.Линейная регрессия и корреляция
Ответ: r = −0,9894
Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.
Центрированные суммы
Sxy = 254 − 21·91/6 = −64,5
Sxx = 91 − 21²/6 = 17,5
Syy = 1623 − 91²/6 = 242,8
Коэффициент корреляции
r = −64,5/√(17,5·242,8) = −0,9894
Ответ
r = −0,9894
12.Линейная регрессия и корреляция
Ответ: ŷ = 56,35
Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.
Средние
x̄ = 35/5 = 7
ȳ = 267/5 = 53,4
Суммы квадратов и произведений
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 118
Линия регрессии
b = 118/40 = 2,95
a = 53,4 − 2,95·7 = 32,75
ŷ = 32,75 + 2,95·x
Прогноз
ŷ = 32,75 + 2,95·8 = 56,35
Ответ
ŷ = 56,35
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1