Основы статистики: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 31, 45, 50, 20, 45, 54.

n = 6

s =

2.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 70 и стандартным отклонением 10. Какая доля P значений меньше 74?

μ = 70σ = 10x = 74

P =

3.ВероятностьСредняя

Для показанного распределения найдите стандартное отклонение σ величины X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,2, 0,35, 0,35, 0,1

σ =

4.ВероятностьСложная

X имеет показанное распределение, а Y = 0,5X + 20. Найдите стандартное отклонение σ_Y величины Y.

x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,35, 0,3Y = 0,5X + 20

σ_Y =

5.Нормальное распределениеСредняя

Массы объектов (болты) независимы и нормально распределены со средним 40 g и стандартным отклонением 1,2 g. Найдите вероятность P того, что общая масса 12 из них превышает 484,2 g. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ = 40 gσ = 1,2 gn = 12> 484,2 g

P =

6.Нормальное распределениеСложная

Распределение «массы пакетов» нормальное: среднее 250 g, стандартное отклонение 5 g. Перетащите границу так, чтобы закрашенные верхние 30% были справа от неё. Найдите границу x.

μ = 250 gσ = 5 g30%

x = g

7.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 12 элементов имеет среднее 79 и стандартное отклонение s = 11. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите нижнюю границу 95 % доверительного интервала для среднего.

n = 12x̄ = 79s = 1195%t(11) = 2,201

нижняя граница =

8.Доверительные интервалыСложная

О доле бракованных изделий заранее ничего не известно. Сколько изделий n нужно проверить, чтобы 99 % доверительный интервал для доли имел предельную ошибку не более 0,01?

p = 0,5E = 0,0199%

n =

9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Две производственные линии изготавливают одну и ту же деталь. Линия 1: выборка из 40 деталей имеет среднюю длину 43 mm, известное стандартное отклонение линии 10 mm. Линия 2: выборка из 100 деталей имеет среднее 38,5 mm, известное стандартное отклонение 3 mm. Найдите статистику критерия z для H₀: μ₁ = μ₂, принимая разность как x̄₁ − x̄₂ (линия 1 минус линия 2).

n₁ = 40x̄₁ = 43 mmσ₁ = 10 mmn₂ = 100x̄₂ = 38,5 mmσ₂ = 3 mm

z =

10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Выборка из 36 измерений имеет среднее 502,4. Стандартное отклонение генеральной совокупности — 8. Найдите нижнюю границу L 90 % доверительного интервала для среднего.

x̄ = 502,4σ = 8n = 3690%

L =

11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 5 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Найдите коэффициент детерминации r² прямой наименьших квадратов.

n = 5

r² =

12.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 5 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Получено новое наблюдение (24, 100). Найдите его остаток e = y − ŷ.

n = 5(24, 100)

e =

3Растворы

1.Описательная статистика

Ответ: s = 12,83

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 245/6 = 40,83

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = (−9,833)² + 4,167² + 9,167² + (−20,83)² + 4,167² + 13,17² = 822,8

Стандартное отклонение

s = √(822,8/5) = 12,83

Ответ

s = 12,83

2.Описательная статистика

Ответ: P = 0,6554

Стандартизуйте

z = 0,4

Таблица нормального распределения

Φ(0,4) = 0,6554

P = 0,6554

Ответ

P = 0,6554

3.Вероятность

Ответ: σ = 0,9097

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 0·0,2 + 1·0,35 + 2·0,35 + 3·0,1 = 1,35

Среднее квадратов

E(X²) = 0·0,2 + 1·0,35 + 4·0,35 + 9·0,1 = 2,65

Дисперсия

Var(X) = 2,65 − 1,35² = 0,8275

σ = √0,8275 = 0,9097

Ответ

σ = 0,9097

4.Вероятность

Ответ: σ_Y = 0,4023

Разброс X

μ = 0,95, Var(X) = 0,6475, σ_X = 0,8047

Линейное преобразование

σ_Y = |0,5|·0,8047 = 0,4023

Ответ

σ_Y = 0,4023

Среднее действительно сдвигается: E(Y) = 0,5·0,95 + 20 = 20,48.

5.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,1562

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение суммы

μ_T = 480 g, σ_T = 1,2·√12 = 4,157 g

Стандартизуйте

z = (484,2 − 480)/4,157 = 1,01

Вероятность

P = 1 − Φ(1,01) = 0,1562

Ответ

P = 0,1562

6.Нормальное распределение

Ответ: x = 252,6 g

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева

Φ(z) = 0,7

z из таблицы

z ≈ 0,52

Возврат к исходным единицам

x = 250 + 0,52·5 = 252,6 g

Ответ

x = 252,6 g

7.Доверительные интервалы

Ответ: нижняя граница = 72,01

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 11, t = 2,201

Предельная ошибка

E = 2,201·11/√12 = 6,989

Интервал

79 ± 6,989 → [72,01, 85,99]

Ответ

нижняя граница = 72,01

8.Доверительные интервалы

Ответ: n = 16590

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Выразите n

n = 2,576²·0,5·0,5/0,01² = 16589

Округлите вверх

n = 16590

Ответ

n = 16590

9.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: z = 2,796

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Стандартная ошибка разности

SE = √(10²/40 + 3²/100) = √2,59 = 1,609

Статистика критерия

z = (43 − 38,5)/1,609 = 2,796

Ответ

z = 2,796

|z| > 1,96, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

10.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: L = 500,2

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Предельная ошибка

E = 1,645·8/√36 = 2,193

Граница интервала

L = 502,4 − 2,193 = 500,2

Ответ

L = 500,2

11.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r² = 0,9888

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 233/5 = 46,6

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 180

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 819,2

Коэффициент детерминации

r² = 180²/(40·819,2) = 0,9888

Ответ

r² = 0,9888

Прямая объясняет около 98,88% вариации y.

12.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: e = 4,5

Средние

x̄ = 105/5 = 21

ȳ = 404/5 = 80,8

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 196

Линия регрессии

b = 196/40 = 4,9

a = 80,8 − 4,9·21 = −22,1

ŷ = −22,1 + 4,9·x

Прогнозируемое значение

ŷ = −22,1 + 4,9·24 = 95,5

Остаток

e = 100 − 95,5 = 4,5

Ответ

e = 4,5

Точка лежит выше прямой.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1