Основы статистики: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 28, 27, 29, 48, 29, 56, 50.

n = 7

s =

2.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 60 и стандартным отклонением 8. Какая доля P значений больше 50,4?

μ = 60σ = 8x = 50,4

P =

3.ВероятностьСредняя

Для показанного распределения найдите стандартное отклонение σ величины X.

x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,3, 0,35

σ =

4.ВероятностьСложная

X имеет показанное распределение, а Y = 3X + 20. Найдите стандартное отклонение σ_Y величины Y.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,2, 0,2, 0,3, 0,3Y = 3X + 20

σ_Y =

5.Нормальное распределениеСредняя

Массы объектов (пассажиры с багажом) независимы и нормально распределены со средним 85 kg и стандартным отклонением 12 kg. Найдите вероятность P того, что общая масса 5 из них превышает 465,2 kg. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ = 85 kgσ = 12 kgn = 5> 465,2 kg

P =

6.Нормальное распределениеСложная

Рост мужчин X и женщин Y в группе независимы и нормально распределены: X имеет среднее 180 cm и стандартное отклонение 10 cm, Y имеет среднее 170 cm и стандартное отклонение 12 cm. Найдите вероятность P того, что X больше Y. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ_X = 180 cm, σ_X = 10 cmμ_Y = 170 cm, σ_Y = 12 cm

P =

7.Доверительные интервалыСредняя

Сравнивается время работы аккумулятора двух моделей телефонов. Модель 1: 50 телефонов, среднее 68,5 h, известное стандартное отклонение 9 h. Модель 2: 80 телефонов, среднее 74 h, известное стандартное отклонение 13 h. Найдите нижнюю границу 99 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.

n₁ = 50x̄₁ = 68,5 hσ₁ = 9 hn₂ = 80x̄₂ = 74 hσ₂ = 13 h99%

нижняя граница = h

8.Доверительные интервалыСложная

Диаметры 21 обработанных валов имеют выборочное стандартное отклонение 7,3 µm. Считая диаметры нормально распределёнными, найдите границу 95 % доверительного интервала для стандартного отклонения генеральной совокупности — верхняя граница σ. При df = 20 2,5 % распределения χ² лежит ниже 9,591 и 2,5 % — выше 34,17.

n = 21s = 7,3 µmχ² = 9,591, 34,17

σ = µm

9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 49 студентов имеет средний балл 46,46 и выборочное стандартное отклонение 8. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 46,46s = 8n = 49

t =

10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Выборка из 16 измерений имеет среднее 193,3. Стандартное отклонение генеральной совокупности — 10. Найдите верхнюю границу U 99 % доверительного интервала для среднего.

x̄ = 193,3σ = 10n = 1699%

U =

11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 6 пар наблюдений x = часов подготовки и y = балл за экзамен. Найдите коэффициент детерминации r² прямой наименьших квадратов.

n = 6

r² =

12.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 6 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. При каком значении x прямая прогнозирует ŷ = 27?

n = 6ŷ = 27

x =

3Растворы

1.Описательная статистика

Ответ: s = 12,59

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 267/7 = 38,14

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = (−10,14)² + (−11,14)² + (−9,143)² + 9,857² + (−9,143)² + 17,86² + 11,86² = 950,9

Стандартное отклонение

s = √(950,9/6) = 12,59

Ответ

s = 12,59

2.Описательная статистика

Ответ: P = 0,8849

Стандартизуйте

z = −1,2

Таблица нормального распределения

Φ(−1,2) = 0,1151

P = 1 − 0,1151 = 0,8849

Ответ

P = 0,8849

3.Вероятность

Ответ: σ = 0,8367

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 0·0,35 + 1·0,3 + 2·0,35 = 1

Среднее квадратов

E(X²) = 0·0,35 + 1·0,3 + 4·0,35 = 1,7

Дисперсия

Var(X) = 1,7 − 1² = 0,7

σ = √0,7 = 0,8367

Ответ

σ = 0,8367

4.Вероятность

Ответ: σ_Y = 3,3

Разброс X

μ = 2,7, Var(X) = 1,21, σ_X = 1,1

Линейное преобразование

σ_Y = |3|·1,1 = 3,3

Ответ

σ_Y = 3,3

Среднее действительно сдвигается: E(Y) = 3·2,7 + 20 = 28,1.

5.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,06681

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение суммы

μ_T = 425 kg, σ_T = 12·√5 = 26,83 kg

Стандартизуйте

z = (465,2 − 425)/26,83 = 1,5

Вероятность

P = 1 − Φ(1,5) = 0,06681

Ответ

P = 0,06681

6.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,7389

Распределение разности

μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15,62 cm

Стандартизуйте

z = (0 − 10)/15,62 = −0,64

Вероятность

P = 1 − Φ(−0,64) = 0,7389

Ответ

P = 0,7389

7.Доверительные интервалы

Ответ: нижняя граница = −10,48 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Точечная оценка

x̄₁ − x̄₂ = 68,5 − 74 = −5,5

Стандартная ошибка

SE = √(9²/50 + 13²/80) = 1,932

Предельная ошибка

E = 2,576·1,932 = 4,977

Интервал

−5,5 ± 4,977 → [−10,48, −0,5233]

Ответ

нижняя граница = −10,48 h

Интервал не содержит 0, поэтому средние значимо различаются.

8.Доверительные интервалы

Ответ: σ = 10,54 µm

Интервал для дисперсии: (n − 1)s²/σ² имеет распределение χ² с n − 1 степенями свободы. 95 % интервал для σ² простирается от (n − 1)s², делённого на верхнее значение χ² (выше него 2,5 %), до (n − 1)s², делённого на нижнее значение χ² (ниже него 2,5 %); интервал для σ получают извлечением квадратного корня из обеих границ. Он несимметричен относительно s.

Сумма квадратов

(n − 1)s² = 20·7,3² = 1066

Границы для σ²

1066/34,17 = 31,19

1066/9,591 = 111,1

Граница для σ

σ = √111,1 = 10,54 µm

Ответ

σ = 10,54 µm

95 % интервал для σ: [5,585, 10,54] µm.

9.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = −3,097

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 8/√49 = 8/7 = 1,143

Статистика критерия

t = (46,46 − 50)/1,143 = −3,097

Ответ

t = −3,097

t_{0,025; df = 48} = 2,011

|t| > 2,011, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

10.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: U = 199,7

Предельная ошибка

E = 2,576·10/√16 = 6,44

Граница интервала

U = 193,3 + 6,44 = 199,7

Ответ

U = 199,7

11.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r² = 0,9566

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 446/6 = 74,33

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 292

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1273

Коэффициент детерминации

r² = 292²/(70·1273) = 0,9566

Ответ

r² = 0,9566

Прямая объясняет около 95,66% вариации y.

12.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: x = 1,815

Средние

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 149/6 = 24,83

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −22,5

Линия регрессии

b = −22,5/17,5 = −1,286

a = 24,83 − (−1,286)·3,5 = 29,33

ŷ = 29,33 − 1,286·x

Найдите x

x = (27 − 29,33)/(−1,286) = 1,815

Ответ

x = 1,815

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1