Основы статистики: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 50, 42, 31, 44, 25.

n = 5

s =

2.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 50 и стандартным отклонением 8. Какая доля P значений больше 34?

μ = 50σ = 8x = 34

P =

3.ВероятностьСредняя

Сколькими способами N можно выбрать комиссию из 3 человек из группы из 13 человек? Порядок не важен.

n = 13k = 3

N =

4.ВероятностьСложная

Игра стоит €10. Вы выигрываете €50 с вероятностью 0,15 и €500 с вероятностью 0,01; в остальных случаях вы ничего не выигрываете. Ставка не возвращается. Найдите ожидаемый чистый выигрыш E(G) за одну игру.

ставка = €10€50: p = 0,15€500: p = 0,01

E(G) = €

5.Нормальное распределениеСредняя

Пусть массы пакетов распределены нормально со средним 250 g и стандартным отклонением 5 g. Какая доля значений лежит между 250,25 и 254 g? Дайте P в виде десятичной дроби.

μ = 250σ = 5x₁ = 250,25x₂ = 254

P =

6.Нормальное распределениеСложная

Распределение «сроки службы батареек» нормальное: среднее 500 h, стандартное отклонение 40 h. Перетащите границу так, чтобы закрашенные нижние 10% были слева от неё. Найдите границу x.

μ = 500 hσ = 40 h10%

x = h

7.Доверительные интервалыСредняя

У 11 пациентов измеряют артериальное давление до и после лечения. Разности d = до − после (mmHg) имеют среднее −4,9 и стандартное отклонение 3,2. Найдите предельную ошибку E 99 % доверительного интервала для средней разности.

n = 11d̄ = −4,9s_d = 3,299%t(10) = 3,169

E = mmHg

8.Доверительные интервалыСложная

Испытываются два удобрения. Группа участков 1: 9 участков, средний урожай 38 kg, стандартное отклонение 4 kg. Группа участков 2: 12 участков, среднее 31 kg, стандартное отклонение 7,5 kg. Считайте дисперсии равными (объединённый t-критерий, df = n₁ + n₂ − 2). Найдите нижнюю границу 90 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.

n₁ = 9x̄₁ = 38s₁ = 4n₂ = 12x̄₂ = 31s₂ = 7,590%t(19) = 1,729

нижняя граница = kg

9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 16 студентов имеет средний балл 44,5 и выборочное стандартное отклонение 10. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 44,5s = 10n = 16

t =

10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

В исследовании выздоравливают 28 из 80 пациентов, получавших лечение A, и 75 из 150 пациентов, получавших лечение B. Используя объединённую долю, найдите статистику критерия z для H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 28n₁ = 80x₂ = 75n₂ = 150

z =

11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 5 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Найдите коэффициент детерминации r² прямой наименьших квадратов.

n = 5

r² =

12.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 6 пар наблюдений x = часов подготовки и y = балл за экзамен. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Получено новое наблюдение (2, 55). Найдите его остаток e = y − ŷ.

n = 6(2, 55)

e =

3Растворы

1.Описательная статистика

Ответ: s = 10,16

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 192/5 = 38,4

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = 11,6² + 3,6² + (−7,4)² + 5,6² + (−13,4)² = 413,2

Стандартное отклонение

s = √(413,2/4) = 10,16

Ответ

s = 10,16

2.Описательная статистика

Ответ: P = 0,9772

Стандартизуйте

z = −2

Таблица нормального распределения

Φ(−2) = 0,02275

P = 1 − 0,02275 = 0,9772

Ответ

P = 0,9772

3.Вероятность

Ответ: N = 286

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Сочетания

C(13, 3) = (13·12·11)/(3·2·1) = 286

Ответ

N = 286

4.Вероятность

Ответ: E(G) = 2,5 €

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Чистые исходы

G: 40 (p = 0,15), 490 (p = 0,01), −10 (p = 0,84)

Математическое ожидание

E(G) = 40·0,15 + 490·0,01 − 10·0,84 = 2,5 €

Ответ

E(G) = 2,5 €

Положительное значение означает, что в среднем вы выигрываете деньги.

5.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,2682

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z-оценки

z₁ = (250,25 − 250)/5 = 0,05

z₂ = (254 − 250)/5 = 0,8

Площадь между

P = Φ(0,8) − Φ(0,05) = 0,7881 − 0,5199 = 0,2682

Ответ

P = 0,2682

6.Нормальное распределение

Ответ: x = 449 h

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева

Φ(z) = 0,1

z из таблицы

z ≈ −1,28

Возврат к исходным единицам

x = 500 − 1,28·40 = 449 h

Ответ

x = 449 h

7.Доверительные интервалы

Ответ: E = 3,058 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Критическое значение

df = 10, t = 3,169

Предельная ошибка

E = 3,169·3,2/√11 = 3,058

Ответ

E = 3,058 mmHg

8.Доверительные интервалы

Ответ: нижняя граница = 2,22 kg

Объединённое стандартное отклонение

s_p² = (8·4² + 11·7,5²)/19 = 39,3

s_p = 6,269

Предельная ошибка

E = 1,729·6,269·√(1/9 + 1/12) = 4,78

Интервал

7 ± 4,78 → [2,22, 11,78]

Ответ

нижняя граница = 2,22 kg

9.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = −2,2

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 10/√16 = 10/4 = 2,5

Статистика критерия

t = (44,5 − 50)/2,5 = −2,2

Ответ

t = −2,2

t_{0,025; df = 15} = 2,131

|t| > 2,131, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

10.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: z = −2,179

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Выборочные доли

p̂₁ = 28/80 = 0,35

p̂₂ = 75/150 = 0,5

p̂ = 103/230 = 0,4478

Стандартная ошибка при H₀

SE = √(0,4478·0,5522·(1/80 + 1/150)) = 0,06884

Статистика критерия

z = (0,35 − 0,5)/0,06884 = −2,179

Ответ

z = −2,179

|z| > 1,96, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

11.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r² = 0,9972

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 133/5 = 26,6

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 152

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 579,2

Коэффициент детерминации

r² = 152²/(40·579,2) = 0,9972

Ответ

r² = 0,9972

Прямая объясняет около 99,72% вариации y.

12.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: e = 2,748

Средние

x̄ = 36/6 = 6

ȳ = 475/6 = 79,17

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 471

Линия регрессии

b = 471/70 = 6,729

a = 79,17 − 6,729·6 = 38,8

ŷ = 38,8 + 6,729·x

Прогнозируемое значение

ŷ = 38,8 + 6,729·2 = 52,25

Остаток

e = 55 − 52,25 = 2,748

Ответ

e = 2,748

Точка лежит выше прямой.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1