Основы статистики: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 40, 18, 31, 16, 38.

n = 5

s =

2.Описательная статистикаСложная

Баллы за экзамен распределены нормально со средним 50 и стандартным отклонением 15. Найдите z-оценку z для результата 38.

μ = 50σ = 15x = 38

z =

3.ВероятностьСредняя

Сколькими способами N можно выбрать комиссию из 2 человек из группы из 10 человек? Порядок не важен.

n = 10k = 2

N =

4.ВероятностьСложная

В тесте 11 вопросов с вариантами ответов. Студентка, которая угадывает, отвечает верно на каждый с вероятностью 0,2, независимо. Какова вероятность P ровно 1 верных ответов?

n = 11p = 0,2k = 1

P =

5.Нормальное распределениеСредняя

X нормальна со средним 60 s и стандартным отклонением 5 s; Y независима и нормальна со средним 45 s и стандартным отклонением 4 s. Найдите вероятность P того, что X + Y больше 117,8 s. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ_X = 60, σ_X = 5μ_Y = 45, σ_Y = 4X + Y > 117,8 s

P =

6.Нормальное распределениеСложная

Распределение «баллы за экзамен» нормальное: среднее 65 баллов, стандартное отклонение 10 баллов. Перетащите границу так, чтобы закрашенные верхние 40% были справа от неё. Найдите границу x.

μ = 65 балловσ = 10 баллов40%

x = баллов

7.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 25 элементов имеет среднее 35,5 и стандартное отклонение s = 11,5. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите нижнюю границу 90 % доверительного интервала для среднего.

n = 25x̄ = 35,5s = 11,590%t(24) = 1,711

нижняя граница =

8.Доверительные интервалыСложная

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 5. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 95 % доверительного интервала для среднего не превышала 1,5?

σ = 5E = 1,595%

n =

9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 25 студентов имеет средний балл 505,8 и выборочное стандартное отклонение 10. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 505,8s = 10n = 25

t =

10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Выборка из 81 измерений имеет среднее 47. Стандартное отклонение генеральной совокупности — 10. Найдите нижнюю границу L 90 % доверительного интервала для среднего.

x̄ = 47σ = 10n = 8190%

L =

11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 5 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Даны их суммы. Найдите по этим суммам коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 5Σx = 15Σy = 93Σx² = 55Σy² = 1755Σxy = 264

r =

12.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 5 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Получено новое наблюдение (21,5, 84). Найдите его остаток e = y − ŷ.

n = 5(21,5, 84)

e =

3Растворы

1.Описательная статистика

Ответ: s = 11,13

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 143/5 = 28,6

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = 11,4² + (−10,6)² + 2,4² + (−12,6)² + 9,4² = 495,2

Стандартное отклонение

s = √(495,2/4) = 11,13

Ответ

s = 11,13

2.Описательная статистика

Ответ: z = −0,8

Стандартизуйте

z = (38 − 50)/15 = −0,8

Ответ

z = −0,8

3.Вероятность

Ответ: N = 45

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Сочетания

C(10, 2) = (10·9)/(2·1) = 45

Ответ

N = 45

4.Вероятность

Ответ: P = 0,2362

Формула Бернулли

P(X = 1) = 11·0,2¹·0,8¹⁰ = 11·0,2·0,1074 = 0,2362

Ответ

P = 0,2362

5.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,02275

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение суммы

μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6,403 s

Стандартизуйте

z = (117,8 − 105)/6,403 = 2

Верхний хвост

P = 1 − Φ(2) = 1 − 0,9772 = 0,02275

Ответ

P = 0,02275

6.Нормальное распределение

Ответ: x = 67,5 баллов

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева

Φ(z) = 0,6

z из таблицы

z ≈ 0,25

Возврат к исходным единицам

x = 65 + 0,25·10 = 67,5 баллов

Ответ

x = 67,5 баллов

7.Доверительные интервалы

Ответ: нижняя граница = 31,56

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 24, t = 1,711

Предельная ошибка

E = 1,711·11,5/√25 = 3,935

Интервал

35,5 ± 3,935 → [31,56, 39,44]

Ответ

нижняя граница = 31,56

8.Доверительные интервалы

Ответ: n = 43

Выразите n

n = (1,96·5/1,5)² = 42,68

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 43

Ответ

n = 43

9.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = 2,9

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 10/√25 = 10/5 = 2

Статистика критерия

t = (505,8 − 500)/2 = 2,9

Ответ

t = 2,9

t_{0,025; df = 24} = 2,064

|t| > 2,064, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

10.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: L = 45,17

Предельная ошибка

E = 1,645·10/√81 = 1,828

Граница интервала

L = 47 − 1,828 = 45,17

Ответ

L = 45,17

11.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = −0,9449

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Центрированные суммы

S_xy = 264 − 15·93/5 = −15

S_xx = 55 − 15²/5 = 10

S_yy = 1755 − 93²/5 = 25,2

Коэффициент корреляции

r = −15/√(10·25,2) = −0,9449

Ответ

r = −0,9449

12.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: e = −5,1

Средние

x̄ = 115/5 = 23

ȳ = 479/5 = 95,8

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 402

Линия регрессии

b = 402/90 = 4,467

a = 95,8 − 4,467·23 = −6,933

ŷ = −6,933 + 4,467·x

Прогнозируемое значение

ŷ = −6,933 + 4,467·21,5 = 89,1

Остаток

e = 84 − 89,1 = −5,1

Ответ

e = −5,1

Точка лежит ниже прямой.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1