Основы статистики: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 27, 55, 24, 59, 34, 14, 41.

n = 7

s =

2.Описательная статистикаСложная

Баллы за экзамен распределены нормально со средним 60 и стандартным отклонением 5. Найдите z-оценку z для результата 70.

μ = 60σ = 5x = 70

z =

3.ВероятностьСредняя

Для показанного распределения найдите дисперсию Var(X) величины X.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,05, 0,35, 0,15, 0,35, 0,1

Var(X) =

4.ВероятностьСложная

X имеет показанное распределение, а Y = 10X + 5. Найдите стандартное отклонение σ_Y величины Y.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,3, 0,25, 0,1, 0,35Y = 10X + 5

σ_Y =

5.Нормальное распределениеСредняя

Перетащите z так, чтобы закрашенная площадь между −z и z под стандартной нормальной кривой была равна 0,9464. Найдите z с точностью до двух знаков.

A = 0,9464

z =

6.Нормальное распределениеСложная

Пусть значения роста взрослых мужчин распределены нормально со средним 178 cm и стандартным отклонением 7 cm. Найдите значение x, ниже которого лежат 90 % значений (90-й процентиль).

μ = 178σ = 7P = 90%

x = cm

7.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 13 элементов имеет среднее 41 и стандартное отклонение s = 11. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите верхнюю границу 90 % доверительного интервала для среднего.

n = 13x̄ = 41s = 1190%t(12) = 1,782

верхняя граница =

8.Доверительные интервалыСложная

Диаметры 30 обработанных валов имеют выборочное стандартное отклонение 3 µm. Считая диаметры нормально распределёнными, найдите границу 95 % доверительного интервала для стандартного отклонения генеральной совокупности — нижняя граница σ. При df = 29 2,5 % распределения χ² лежит ниже 16,047 и 2,5 % — выше 45,722.

n = 30s = 3 µmχ² = 16,047, 45,722

σ = µm

9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Утверждается, что среднее генеральной совокупности равно 500; стандартное отклонение генеральной совокупности известно и равно 15. Случайная выборка из 100 наблюдений имеет среднее 497,6. Проверьте H₀: μ = 500 против H₁: μ ≠ 500. Найдите p-значение p.

μ₀ = 500σ = 15n = 100x̄ = 497,6H₁: μ ≠ μ₀

p =

10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Выборка из 64 измерений имеет среднее 52,3. Стандартное отклонение генеральной совокупности — 20. Найдите нижнюю границу L 90 % доверительного интервала для среднего.

x̄ = 52,3σ = 20n = 6490%

L =

11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 5 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Найдите коэффициент детерминации r² прямой наименьших квадратов.

n = 5

r² =

12.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 5 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Получено новое наблюдение (5, 21). Найдите его остаток e = y − ŷ.

n = 5(5, 21)

e =

3Растворы

1.Описательная статистика

Ответ: s = 16,47

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 254/7 = 36,29

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = (−9,286)² + 18,71² + (−12,29)² + 22,71² + (−2,286)² + (−22,29)² + 4,714² = 1627

Стандартное отклонение

s = √(1627/6) = 16,47

Ответ

s = 16,47

2.Описательная статистика

Ответ: z = 2

Стандартизуйте

z = (70 − 60)/5 = 2

Ответ

z = 2

3.Вероятность

Ответ: Var(X) = 1,29

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 0·0,05 + 1·0,35 + 2·0,15 + 3·0,35 + 4·0,1 = 2,1

Среднее квадратов

E(X²) = 0·0,05 + 1·0,35 + 4·0,15 + 9·0,35 + 16·0,1 = 5,7

Дисперсия

Var(X) = 5,7 − 2,1² = 1,29

Ответ

Var(X) = 1,29

4.Вероятность

Ответ: σ_Y = 24,9

Разброс X

μ = 3, Var(X) = 6,2, σ_X = 2,49

Линейное преобразование

σ_Y = |10|·2,49 = 24,9

Ответ

σ_Y = 24,9

Среднее действительно сдвигается: E(Y) = 10·3 + 5 = 35.

5.Нормальное распределение

Ответ: z = 1,93

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева от z

Φ(z) = (1 + 0,9464)/2 = 0,9732

Читайте таблицу z в обратную сторону

Найдите 0,9732 внутри таблицы и считайте z.

z = 1,93

Ответ

z = 1,93

6.Нормальное распределение

Ответ: x = 187 cm

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z для процентиля

Φ(z) = 0,9 → z = 1,282

Обратно к x

x = 178 + 1,282·7 = 186,97 cm

Ответ

x = 186,97 cm

7.Доверительные интервалы

Ответ: верхняя граница = 46,44

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 12, t = 1,782

Предельная ошибка

E = 1,782·11/√13 = 5,437

Интервал

41 ± 5,437 → [35,56, 46,44]

Ответ

верхняя граница = 46,44

8.Доверительные интервалы

Ответ: σ = 2,389 µm

Интервал для дисперсии: (n − 1)s²/σ² имеет распределение χ² с n − 1 степенями свободы. 95 % интервал для σ² простирается от (n − 1)s², делённого на верхнее значение χ² (выше него 2,5 %), до (n − 1)s², делённого на нижнее значение χ² (ниже него 2,5 %); интервал для σ получают извлечением квадратного корня из обеих границ. Он несимметричен относительно s.

Сумма квадратов

(n − 1)s² = 29·3² = 261

Границы для σ²

261/45,722 = 5,708

261/16,047 = 16,26

Граница для σ

σ = √5,708 = 2,389 µm

Ответ

σ = 2,389 µm

95 % интервал для σ: [2,389, 4,033] µm.

9.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: p = 0,1096

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Статистика критерия

SE = σ/√n = 15/√100 = 1,5

z = (497,6 − 500)/1,5 = −1,6

Площадь хвоста

Φ(1,6) = 0,9452

1 − Φ(1,6) = 0,0548

p-значение

p = 2·0,0548 = 0,1096

Ответ

p = 0,1096

p > 0,05, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 %.

10.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: L = 48,19

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Предельная ошибка

E = 1,645·20/√64 = 4,112

Граница интервала

L = 52,3 − 4,112 = 48,19

Ответ

L = 48,19

11.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r² = 0,986

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 95/5 = 19

ȳ = 478/5 = 95,6

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 220

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1227

Коэффициент детерминации

r² = 220²/(40·1227) = 0,986

Ответ

r² = 0,986

Прямая объясняет около 98,6% вариации y.

12.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: e = 1,75

Средние

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 113/5 = 22,6

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 134

Линия регрессии

b = 134/40 = 3,35

a = 22,6 − 3,35·6 = 2,5

ŷ = 2,5 + 3,35·x

Прогнозируемое значение

ŷ = 2,5 + 3,35·5 = 19,25

Остаток

e = 21 − 19,25 = 1,75

Ответ

e = 1,75

Точка лежит выше прямой.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1