Основы статистики: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 42, 40, 36, 14, 19.

n = 5

s =

2.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 50 и стандартным отклонением 15. Какая доля P значений меньше 56?

μ = 50σ = 15x = 56

P =

3.ВероятностьСредняя

Для показанного распределения найдите дисперсию Var(X) величины X.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,35, 0,15, 0,25, 0,25

Var(X) =

4.ВероятностьСложная

Испытывают 7 компонентов, каждый выходит из строя независимо с вероятностью 0,1. Какова вероятность P, что откажет не более одного?

n = 7p = 0,1

P =

5.Нормальное распределениеСредняя

X нормальна со средним 250 g и стандартным отклонением 4 g; Y независима и нормальна со средним 500 g и стандартным отклонением 9 g. Найдите вероятность P того, что X + Y больше 764,8 g. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ_X = 250, σ_X = 4μ_Y = 500, σ_Y = 9X + Y > 764,8 g

P =

6.Нормальное распределениеСложная

Диаметры отверстий D нормально распределены со средним 25,03 mm и стандартным отклонением 0,015 mm. Диаметры валов d независимы и нормально распределены со средним 25 mm и стандартным отклонением 0,02 mm. Случайно выбранный вал подходит, если D − d > 0. Найдите вероятность P того, что он подходит. Округлите z до двух знаков после запятой.

отверстие: μ = 25,03 mm, σ = 0,015 mmвал: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm

P =

7.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 7 элементов имеет среднее 76,5 и стандартное отклонение s = 9,5. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите нижнюю границу 99 % доверительного интервала для среднего.

n = 7x̄ = 76,5s = 9,599%t(6) = 3,707

нижняя граница =

8.Доверительные интервалыСложная

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 15. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 90 % доверительного интервала для среднего не превышала 4?

σ = 15E = 490%

n =

9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 64 студентов имеет средний балл 199,4 и выборочное стандартное отклонение 5. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 199,4s = 5n = 64

t =

10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Односторонний z-критерий для H₀: μ = 50 против H₁: μ < 50 проводится при α = 0.05 по выборке объёмом 36; стандартное отклонение известно и равно 6. В действительности среднее равно 47.2. Найдите вероятность ошибки второго рода β в процентах.

μ₀ = 50μ = 47,2σ = 6n = 36α = 0,05

β = %

11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 6 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Найдите коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 6

r =

12.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 6 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Спрогнозируйте ŷ при x = 2,5.

n = 6x = 2,5

ŷ =

3Растворы

1.Описательная статистика

Ответ: s = 12,81

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 151/5 = 30,2

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = 11,8² + 9,8² + 5,8² + (−16,2)² + (−11,2)² = 656,8

Стандартное отклонение

s = √(656,8/4) = 12,81

Ответ

s = 12,81

2.Описательная статистика

Ответ: P = 0,6554

Стандартизуйте

z = 0,4

Таблица нормального распределения

Φ(0,4) = 0,6554

P = 0,6554

Ответ

P = 0,6554

3.Вероятность

Ответ: Var(X) = 5,76

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 0·0,35 + 2·0,15 + 4·0,25 + 6·0,25 = 2,8

Среднее квадратов

E(X²) = 0·0,35 + 4·0,15 + 16·0,25 + 36·0,25 = 13,6

Дисперсия

Var(X) = 13,6 − 2,8² = 5,76

Ответ

Var(X) = 5,76

4.Вероятность

Ответ: P = 0,8503

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Ноль и один отказ

P(X = 0) = 0,9⁷ = 0,4783

P(X = 1) = 7·0,1·0,9⁶ = 0,372

Сложите

P = 0,4783 + 0,372 = 0,8503

Ответ

P = 0,8503

5.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,06681

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение суммы

μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9,849 g

Стандартизуйте

z = (764,8 − 750)/9,849 = 1,5

Верхний хвост

P = 1 − Φ(1,5) = 1 − 0,9332 = 0,06681

Ответ

P = 0,06681

6.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,8849

Распределение разности

μ = 25,03 − 25 = 0,03 mm, σ = 0,025 mm

Стандартизуйте

z = (0 − 0,03)/0,025 = −1,2

Вероятность

P = 1 − Φ(−1,2) = 0,8849

Ответ

P = 0,8849

7.Доверительные интервалы

Ответ: нижняя граница = 63,19

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 6, t = 3,707

Предельная ошибка

E = 3,707·9,5/√7 = 13,31

Интервал

76,5 ± 13,31 → [63,19, 89,81]

Ответ

нижняя граница = 63,19

8.Доверительные интервалы

Ответ: n = 39

Выразите n

n = (1,645·15/4)² = 38,05

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 39

Ответ

n = 39

9.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = −0,96

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 5/√64 = 5/8 = 0,625

Статистика критерия

t = (199,4 − 200)/0,625 = −0,96

Ответ

t = −0,96

t_{0,025; df = 63} = 1,998

|t| < 1.998, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

10.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: β = 12,4 %

Мощность критерия: мощность = 1 − β — вероятность отвергнуть H₀, когда она ложна. Найдите границу x̄c по μ₀ и z_α, затем вычислите вероятность оказаться за x̄c при истинном среднем: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Критическое выборочное среднее

SE = 6/√36 = 1

x̄_c = 50 − 1,645·1 = 48,35

z при истинном среднем

z = (48,35 − 47,2)/1 = 1,155

Ошибка второго рода

мощность = P(Z < 1.155) = 87.6%

β = 100% − 87,6% = 12,4%

Ответ

β = 12,4%

11.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,986

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 27/6 = 4,5

ȳ = 333/6 = 55,5

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 73,5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 317,5

Коэффициент корреляции

r = 73,5/√(17,5·317,5) = 0,986

Ответ

r = 0,986

12.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: ŷ = 22,5

Средние

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 122/6 = 20,33

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −38

Линия регрессии

b = −38/17,5 = −2,171

a = 20,33 − (−2,171)·3,5 = 27,93

ŷ = 27,93 − 2,171·x

Прогноз

ŷ = 27,93 + (−2,171)·2,5 = 22,5

Ответ

ŷ = 22,5

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1