Описательная статистика
- Среднее
- x̄ = Σx/n
- Выборочное стандартное отклонение
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Медиана
- срединное значение упорядоченных данных
- z-оценка
- z = (x − μ)/σ
- Нормальное распределение
- 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ
Основы статистики: шпаргалка-пакет
Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.
1Формулы и методы
Вероятность
- Противоположное событие
- P(not A) = 1 − P(A)
- Правило сложения
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Независимые события
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Условная вероятность
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Биномиальное распределение
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Нормальное распределение
- z-оценка
- z = (x − μ)/σ
- Меньше x
- P(X < x) = Φ(z)
- Больше x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Между
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Процентиль
- x = μ + z·σ
Метод
- Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
- Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
- Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
- Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.
Доверительные интервалы
- σ известно
- x̄ ± z·σ/√n
- σ неизвестно
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Критическое значение z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Объём выборки
- n = (z·σ/E)², rounded up
Метод
- Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
- Найдите критическое значение для уровня доверия.
- Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
- Интервал: x̄ ± E.
Проверка гипотез и доверительные интервалы
- z-тест для среднего
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- t-тест для среднего
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Двусторонний на уровне 5%
- отвергните H0, если |z| > 1,96
- Доверительный интервал
- x̄ ± z·σ/√n
Метод
- Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
- Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
- Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
- Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.
Линейная регрессия и корреляция
- Суммы квадратов
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Угловой коэффициент
- b = Sxy/Sxx
- Свободный член
- a = ȳ − b·x̄
- Корреляция
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Остаток
- e = y − ŷ
2Тренировочные задачи
1.Описательная статистикаСредняя
Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 28, 53, 53, 25, 38.
n = 5
s =
2.Описательная статистикаСложная
Величина распределена нормально со средним 500 и стандартным отклонением 100. Какая доля P значений больше 400?
μ = 500σ = 100x = 400
P =
3.ВероятностьСредняя
В мешочке 5 красных и 9 синих шаров. Вы вынимаете два шара, не возвращая первый. Какова вероятность P, что оба красные?
5 / 9
P =
4.ВероятностьСложная
В тесте 6 вопросов с вариантами ответов. Студентка, которая угадывает, отвечает верно на каждый с вероятностью 0,1, независимо. Какова вероятность P ровно 2 верных ответов?
n = 6p = 0,1k = 2
P =
5.Нормальное распределениеСредняя
Пусть результаты IQ-тестов распределены нормально со средним 100 баллов и стандартным отклонением 15 баллов. Какая доля значений лежит между 92,5 и 103 баллов? Дайте P в виде десятичной дроби.
μ = 100σ = 15x1 = 92,5x2 = 103
P =
6.Нормальное распределениеСложная
Рост мужчин X и женщин Y в группе независимы и нормально распределены: X имеет среднее 180 cm и стандартное отклонение 10 cm, Y имеет среднее 170 cm и стандартное отклонение 12 cm. Найдите вероятность P того, что X больше Y. Округлите z до двух знаков после запятой.
μX = 180 cm, σX = 10 cmμY = 170 cm, σY = 12 cm
P =
7.Доверительные интервалыСредняя
99 % доверительный интервал для среднего, построенный по 100 наблюдениям при известном σ, имеет предельную ошибку 9,1. Какой будет предельная ошибка E₂, если в том же исследовании использовать 900 наблюдений?
99%n₁ = 100E₁ = 9,1n₂ = 900
E₂ =
8.Доверительные интервалыСложная
Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 35. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 95 % доверительного интервала для среднего не превышала 1,5?
σ = 35E = 1,595%
n =
9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
Выборка из 81 студентов имеет средний балл 501,5 и выборочное стандартное отклонение 8. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 500.
μ₀ = 500x̄ = 501,5s = 8n = 81
t =
10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
Выборка из 64 измерений имеет среднее 76,5. Стандартное отклонение генеральной совокупности — 5. Найдите верхнюю границу U 90 % доверительного интервала для среднего.
x̄ = 76,5σ = 5n = 6490%
U =
11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя
В таблице даны 5 пар наблюдений x = часов подготовки и y = балл за экзамен. Даны их суммы. Найдите по этим суммам коэффициент корреляции Пирсона r.
n = 5Σx = 15Σy = 334Σx² = 55Σy² = 22750Σxy = 1067
r =
12.Линейная регрессия и корреляцияСложная
В таблице даны 5 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Получено новое наблюдение (3, 36). Найдите его остаток e = y − ŷ.
n = 5(3, 36)
e =
3Растворы
1.Описательная статистика
Ответ: s = 13,32
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Среднее
x̄ = 197/5 = 39,4
Квадраты отклонений
Σ(x − x̄)² = (−11,4)² + 13,6² + 13,6² + (−14,4)² + (−1,4)² = 709,2
Стандартное отклонение
s = √(709,2/4) = 13,32
Ответ
s = 13,32
2.Описательная статистика
Ответ: P = 0,8413
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Стандартизуйте
z = −1
Таблица нормального распределения
Φ(−1) = 0,1587
P = 1 − 0,1587 = 0,8413
Ответ
P = 0,8413
3.Вероятность
Ответ: P = 0,1099
Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Первое и второе извлечение
P = 5/14 · 4/13 = 20/182 = 0,1099
Ответ
P = 0,1099
4.Вероятность
Ответ: P = 0,09842
Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Формула Бернулли
P(X = 2) = 15·0,12·0,94 = 15·0,01·0,6561 = 0,09842
Ответ
P = 0,09842
5.Нормальное распределение
Ответ: P = 0,2707
Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.
z-оценки
z₁ = (92,5 − 100)/15 = −0,5
z₂ = (103 − 100)/15 = 0,2
Площадь между
P = Φ(0,2) − Φ(−0,5) = 0,5793 − 0,3085 = 0,2707
Ответ
P = 0,2707
6.Нормальное распределение
Ответ: P = 0,7389
Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σX² + σY², поэтому σ = √(σX² + σY²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).
Распределение разности
μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15,62 cm
Стандартизуйте
z = (0 − 10)/15,62 = −0,64
Вероятность
P = 1 − Φ(−0,64) = 0,7389
Ответ
P = 0,7389
7.Доверительные интервалы
Ответ: E₂ = 3,033
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Отношение предельных ошибок
E₂/E₁ = (2,576/2,576)·√(100/900) = 0,3333
Новая предельная ошибка
E₂ = 9,1·0,3333 = 3,033
Ответ
E₂ = 3,033
8.Доверительные интервалы
Ответ: n = 2092
Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.
Выразите n
n = (1,96·35/1,5)² = 2092
Округлите вверх
Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.
n = 2092
Ответ
n = 2092
9.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: t = 1,688
Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).
Стандартная ошибка
SE = 8/√81 = 8/9 = 0,8889
Статистика критерия
t = (501,5 − 500)/0,8889 = 1,688
Ответ
t = 1,688
t0,025; df = 80 = 1,99
|t| < 1.99, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).
10.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: U = 77,53
Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).
Предельная ошибка
E = 1,645·5/√64 = 1,028
Граница интервала
U = 76,5 + 1,028 = 77,53
Ответ
U = 77,53
11.Линейная регрессия и корреляция
Ответ: r = 0,9813
Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.
Центрированные суммы
Sxy = 1067 − 15·334/5 = 65
Sxx = 55 − 15²/5 = 10
Syy = 22750 − 334²/5 = 438,8
Коэффициент корреляции
r = 65/√(10·438,8) = 0,9813
Ответ
r = 0,9813
12.Линейная регрессия и корреляция
Ответ: e = −5,2
Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.
Средние
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 296/5 = 59,2
Суммы квадратов и произведений
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 240
Линия регрессии
b = 240/40 = 6
a = 59,2 − 6·6 = 23,2
ŷ = 23,2 + 6·x
Прогнозируемое значение
ŷ = 23,2 + 6·3 = 41,2
Остаток
e = 36 − 41,2 = −5,2
Ответ
e = −5,2
Точка лежит ниже прямой.
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1