Основы статистики: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 35, 14, 54, 48, 52.

n = 5

s =

2.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 500 и стандартным отклонением 100. Какая доля P значений меньше 625?

μ = 500σ = 100x = 625

P =

3.ВероятностьСредняя

Для показанного распределения найдите стандартное отклонение σ величины X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,2, 0,35, 0,1, 0,35

σ =

4.ВероятностьСложная

X имеет показанное распределение, а Y = 10X + 4. Найдите стандартное отклонение σ_Y величины Y.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,1, 0,3, 0,35, 0,25Y = 10X + 4

σ_Y =

5.Нормальное распределениеСредняя

Перетащите z так, чтобы закрашенная площадь между −z и z под стандартной нормальной кривой была равна 0,4907. Найдите z с точностью до двух знаков.

A = 0,4907

z =

6.Нормальное распределениеСложная

Распределение «баллы за экзамен» нормальное: среднее 65 баллов, стандартное отклонение 10 баллов. Перетащите границу так, чтобы закрашенные нижние 15% были слева от неё. Найдите границу x.

μ = 65 балловσ = 10 баллов15%

x = баллов

7.Доверительные интервалыСредняя

95 % доверительный интервал для среднего, построенный по 50 наблюдениям при известном σ, имеет предельную ошибку 8,8. Какой будет предельная ошибка E₂, если в том же исследовании использовать 100 наблюдений?

95%n₁ = 50E₁ = 8,8n₂ = 100

E₂ =

8.Доверительные интервалыСложная

Испытываются два удобрения. Группа участков 1: 13 участков, средний урожай 70,5 kg, стандартное отклонение 5 kg. Группа участков 2: 13 участков, среднее 68 kg, стандартное отклонение 2 kg. Считайте дисперсии равными (объединённый t-критерий, df = n₁ + n₂ − 2). Найдите нижнюю границу 90 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.

n₁ = 13x̄₁ = 70,5s₁ = 5n₂ = 13x̄₂ = 68s₂ = 290%t(24) = 1,711

нижняя граница = kg

9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 49 студентов имеет средний балл 499,2 и выборочное стандартное отклонение 4. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 499,2s = 4n = 49

t =

10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Односторонний z-критерий при α = 0,01 должен обнаруживать сдвиг среднего на 2,5 единиц с мощностью 80 %. Стандартное отклонение равно 6. Найдите минимальный объём выборки n.

α = 0,01мощность = 80%δ = 2,5σ = 6z_α = 2,326z_β = 0,842

n =

11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 6 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Найдите коэффициент детерминации r² прямой наименьших квадратов.

n = 6

r² =

12.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 5 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Получено новое наблюдение (20, 107). Найдите его остаток e = y − ŷ.

n = 5(20, 107)

e =

3Растворы

1.Описательная статистика

Ответ: s = 16,61

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 203/5 = 40,6

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = (−5,6)² + (−26,6)² + 13,4² + 7,4² + 11,4² = 1103

Стандартное отклонение

s = √(1103/4) = 16,61

Ответ

s = 16,61

2.Описательная статистика

Ответ: P = 0,8944

Стандартизуйте

z = 1,25

Таблица нормального распределения

Φ(1,25) = 0,8944

P = 0,8944

Ответ

P = 0,8944

3.Вероятность

Ответ: σ = 1,158

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 0·0,2 + 1·0,35 + 2·0,1 + 3·0,35 = 1,6

Среднее квадратов

E(X²) = 0·0,2 + 1·0,35 + 4·0,1 + 9·0,35 = 3,9

Дисперсия

Var(X) = 3,9 − 1,6² = 1,34

σ = √1,34 = 1,158

Ответ

σ = 1,158

4.Вероятность

Ответ: σ_Y = 18,84

Разброс X

μ = 3,5, Var(X) = 3,55, σ_X = 1,884

Линейное преобразование

σ_Y = |10|·1,884 = 18,84

Ответ

σ_Y = 18,84

Среднее действительно сдвигается: E(Y) = 10·3,5 + 4 = 39.

5.Нормальное распределение

Ответ: z = 0,66

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева от z

Φ(z) = (1 + 0,4907)/2 = 0,7454

Читайте таблицу z в обратную сторону

Найдите 0,7454 внутри таблицы и считайте z.

z = 0,66

Ответ

z = 0,66

6.Нормальное распределение

Ответ: x = 54,6 баллов

Площадь слева

Φ(z) = 0,15

z из таблицы

z ≈ −1,04

Возврат к исходным единицам

x = 65 − 1,04·10 = 54,6 баллов

Ответ

x = 54,6 баллов

7.Доверительные интервалы

Ответ: E₂ = 6,223

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Отношение предельных ошибок

E₂/E₁ = (1,96/1,96)·√(50/100) = 0,7071

Новая предельная ошибка

E₂ = 8,8·0,7071 = 6,223

Ответ

E₂ = 6,223

8.Доверительные интервалы

Ответ: нижняя граница = −0,05551 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Объединённое стандартное отклонение

s_p² = (12·5² + 12·2²)/24 = 14,5

s_p = 3,808

Предельная ошибка

E = 1,711·3,808·√(1/13 + 1/13) = 2,556

Интервал

2,5 ± 2,556 → [−0,05551, 5,056]

Ответ

нижняя граница = −0,05551 kg

9.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = −1,4

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 4/√49 = 4/7 = 0,5714

Статистика критерия

t = (499,2 − 500)/0,5714 = −1,4

Ответ

t = −1,4

t_{0,025; df = 48} = 2,011

|t| < 2.011, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

10.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: n = 58

Объём выборки для критерия: чтобы обнаружить истинный сдвиг δ с мощностью 1 − β одностронним z-критерием на уровне α, стандартная ошибка должна удовлетворять δ = (z_α + z_β)·σ/√n, поэтому n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² с округлением вверх.

Выразите n

n = ((2,326 + 0,842)·6/2,5)² = 57,81

Округлите вверх

n = 58

Ответ

n = 58

11.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r² = 0,9382

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 27/6 = 4,5

ȳ = 311/6 = 51,83

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 90,5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 498,8

Коэффициент детерминации

r² = 90,5²/(17,5·498,8) = 0,9382

Ответ

r² = 0,9382

Прямая объясняет около 93,82% вариации y.

12.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: e = −3,9

Средние

x̄ = 105/5 = 21

ȳ = 584/5 = 116,8

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 236

Линия регрессии

b = 236/40 = 5,9

a = 116,8 − 5,9·21 = −7,1

ŷ = −7,1 + 5,9·x

Прогнозируемое значение

ŷ = −7,1 + 5,9·20 = 110,9

Остаток

e = 107 − 110,9 = −3,9

Ответ

e = −3,9

Точка лежит ниже прямой.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1