Основы статистики: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 21, 25, 34, 24, 51, 39, 23.

n = 7

s =

2.Описательная статистикаСложная

Баллы за экзамен распределены нормально со средним 50 и стандартным отклонением 5. Найдите z-оценку z для результата 57,5.

μ = 50σ = 5x = 57,5

z =

3.ВероятностьСредняя

Сколькими способами N можно выбрать комиссию из 4 человек из группы из 11 человек? Порядок не важен.

n = 11k = 4

N =

4.ВероятностьСложная

Испытывают 10 компонентов, каждый выходит из строя независимо с вероятностью 0,6. Какова вероятность P, что откажет не более одного?

n = 10p = 0,6

P =

5.Нормальное распределениеСредняя

Перетащите z так, чтобы закрашенная площадь между −z и z под стандартной нормальной кривой была равна 0,7813. Найдите z с точностью до двух знаков.

A = 0,7813

z =

6.Нормальное распределениеСложная

Распределение «баллы за экзамен» нормальное: среднее 65 баллов, стандартное отклонение 10 баллов. Перетащите границу так, чтобы закрашенные верхние 25% были справа от неё. Найдите границу x.

μ = 65 балловσ = 10 баллов25%

x = баллов

7.Доверительные интервалыСредняя

95 % доверительный интервал для среднего, построенный по 25 наблюдениям при известном σ, имеет предельную ошибку 2,2. Какой будет предельная ошибка E₂ 90 % интервала по 225 наблюдениям?

95%n₁ = 25E₁ = 2,290%n₂ = 225

E₂ =

8.Доверительные интервалыСложная

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 10. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 99 % доверительного интервала для среднего не превышала 1?

σ = 10E = 199%

n =

9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Утверждается, что среднее генеральной совокупности равно 50; стандартное отклонение генеральной совокупности известно и равно 15. Случайная выборка из 25 наблюдений имеет среднее 56,66. Проверьте H₀: μ = 50 против H₁: μ ≠ 50. Найдите p-значение p.

μ₀ = 50σ = 15n = 25x̄ = 56,66H₁: μ ≠ μ₀

p =

10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

В исследовании выздоравливают 100 из 200 пациентов, получавших лечение A, и 44 из 100 пациентов, получавших лечение B. Используя объединённую долю, найдите статистику критерия z для H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 100n₁ = 200x₂ = 44n₂ = 100

z =

11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 5 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Найдите коэффициент детерминации r² прямой наименьших квадратов.

n = 5

r² =

12.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 6 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. При каком значении x прямая прогнозирует ŷ = 115?

n = 6ŷ = 115

x =

3Растворы

1.Описательная статистика

Ответ: s = 10,97

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 217/7 = 31

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = (−10)² + (−6)² + 3² + (−7)² + 20² + 8² + (−8)² = 722

Стандартное отклонение

s = √(722/6) = 10,97

Ответ

s = 10,97

2.Описательная статистика

Ответ: z = 1,5

Стандартизуйте

z = (57,5 − 50)/5 = 1,5

Ответ

z = 1,5

3.Вероятность

Ответ: N = 330

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Сочетания

C(11, 4) = (11·10·9·8)/(4·3·2·1) = 330

Ответ

N = 330

4.Вероятность

Ответ: P = 0,001678

Ноль и один отказ

P(X = 0) = 0,4¹⁰ = 0,0001049

P(X = 1) = 10·0,6·0,4⁹ = 0,001573

Сложите

P = 0,0001049 + 0,001573 = 0,001678

Ответ

P = 0,001678

5.Нормальное распределение

Ответ: z = 1,23

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева от z

Φ(z) = (1 + 0,7813)/2 = 0,8907

Читайте таблицу z в обратную сторону

Найдите 0,8907 внутри таблицы и считайте z.

z = 1,23

Ответ

z = 1,23

6.Нормальное распределение

Ответ: x = 71,7 баллов

Площадь слева

Φ(z) = 0,75

z из таблицы

z ≈ 0,67

Возврат к исходным единицам

x = 65 + 0,67·10 = 71,7 баллов

Ответ

x = 71,7 баллов

7.Доверительные интервалы

Ответ: E₂ = 0,6155

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Отношение предельных ошибок

E₂/E₁ = (1,645/1,96)·√(25/225) = 0,2798

Новая предельная ошибка

E₂ = 2,2·0,2798 = 0,6155

Ответ

E₂ = 0,6155

8.Доверительные интервалы

Ответ: n = 664

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Выразите n

n = (2,576·10/1)² = 663,6

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 664

Ответ

n = 664

9.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: p = 0,02642

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Статистика критерия

SE = σ/√n = 15/√25 = 3

z = (56,66 − 50)/3 = 2,22

Площадь хвоста

Φ(2,22) = 0,9868

1 − Φ(2,22) = 0,0132

p-значение

p = 2·0,0132 = 0,02642

Ответ

p = 0,02642

p ≤ 0,05, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 %.

10.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: z = 0,9806

Выборочные доли

p̂₁ = 100/200 = 0,5

p̂₂ = 44/100 = 0,44

p̂ = 144/300 = 0,48

Стандартная ошибка при H₀

SE = √(0,48·0,52·(1/200 + 1/100)) = 0,06119

Статистика критерия

z = (0,5 − 0,44)/0,06119 = 0,9806

Ответ

z = 0,9806

|z| < 1.96, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

11.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r² = 0,9548

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 110/5 = 22

ȳ = 593/5 = 118,6

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 192

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 965,2

Коэффициент детерминации

r² = 192²/(40·965,2) = 0,9548

Ответ

r² = 0,9548

Прямая объясняет около 95,48% вариации y.

12.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: x = 24,96

Средние

x̄ = 126/6 = 21

ȳ = 549/6 = 91,5

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 415

Линия регрессии

b = 415/70 = 5,929

a = 91,5 − 5,929·21 = −33

ŷ = −33 + 5,929·x

Найдите x

x = (115 − (−33))/5,929 = 24,96

Ответ

x = 24,96

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1