Основы статистики: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 28, 17, 16, 29, 15, 33, 53.

n = 7

s =

2.Описательная статистикаСложная

Баллы за экзамен распределены нормально со средним 500 и стандартным отклонением 100. Найдите z-оценку z для результата 380.

μ = 500σ = 100x = 380

z =

3.ВероятностьСредняя

Для показанного распределения найдите дисперсию Var(X) величины X.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,25, 0,25, 0,25, 0,25

Var(X) =

4.ВероятностьСложная

X имеет показанное распределение, а Y = 2X + 10. Найдите стандартное отклонение σ_Y величины Y.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,2, 0,1, 0,35, 0,35Y = 2X + 10

σ_Y =

5.Нормальное распределениеСредняя

Пусть массы пакетов распределены нормально со средним 250 g и стандартным отклонением 5 g. Какая доля значений лежит между 246 и 252,75 g? Дайте P в виде десятичной дроби.

μ = 250σ = 5x₁ = 246x₂ = 252,75

P =

6.Нормальное распределениеСложная

Распределение «значения роста взрослых мужчин» нормальное: среднее 178 cm, стандартное отклонение 7 cm. Перетащите границу так, чтобы закрашенные верхние 5% были справа от неё. Найдите границу x.

μ = 178 cmσ = 7 cm5%

x = cm

7.Доверительные интервалыСредняя

99 % доверительный интервал для среднего, построенный по 50 наблюдениям при известном σ, имеет предельную ошибку 3,1. Какой будет предельная ошибка E₂, если в том же исследовании использовать 200 наблюдений?

99%n₁ = 50E₁ = 3,1n₂ = 200

E₂ =

8.Доверительные интервалыСложная

Испытываются два удобрения. Группа участков 1: 15 участков, средний урожай 51,5 kg, стандартное отклонение 9,5 kg. Группа участков 2: 11 участков, среднее 52 kg, стандартное отклонение 6,5 kg. Считайте дисперсии равными (объединённый t-критерий, df = n₁ + n₂ − 2). Найдите нижнюю границу 99 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.

n₁ = 15x̄₁ = 51,5s₁ = 9,5n₂ = 11x̄₂ = 52s₂ = 6,599%t(24) = 2,797

нижняя граница = kg

9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 36 студентов имеет средний балл 52 и выборочное стандартное отклонение 5. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 52s = 5n = 36

t =

10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Односторонний z-критерий при α = 0,05 должен обнаруживать сдвиг среднего на 5 единиц с мощностью 95 %. Стандартное отклонение равно 25. Найдите минимальный объём выборки n.

α = 0,05мощность = 95%δ = 5σ = 25z_α = 1,645z_β = 1,645

n =

11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 5 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Найдите коэффициент детерминации r² прямой наименьших квадратов.

n = 5

r² =

12.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 6 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Спрогнозируйте ŷ при x = 4,5.

n = 6x = 4,5

ŷ =

3Растворы

1.Описательная статистика

Ответ: s = 13,43

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 191/7 = 27,29

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = 0,7143² + (−10,29)² + (−11,29)² + 1,714² + (−12,29)² + 5,714² + 25,71² = 1081

Стандартное отклонение

s = √(1081/6) = 13,43

Ответ

s = 13,43

2.Описательная статистика

Ответ: z = −1,2

Стандартизуйте

z = (380 − 500)/100 = −1,2

Ответ

z = −1,2

3.Вероятность

Ответ: Var(X) = 5

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 0·0,25 + 2·0,25 + 4·0,25 + 6·0,25 = 3

Среднее квадратов

E(X²) = 0·0,25 + 4·0,25 + 16·0,25 + 36·0,25 = 14

Дисперсия

Var(X) = 14 − 3² = 5

Ответ

Var(X) = 5

4.Вероятность

Ответ: σ_Y = 22,16

Разброс X

μ = 28,5, Var(X) = 122,8, σ_X = 11,08

Линейное преобразование

σ_Y = |2|·11,08 = 22,16

Ответ

σ_Y = 22,16

Среднее действительно сдвигается: E(Y) = 2·28,5 + 10 = 67.

5.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,497

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z-оценки

z₁ = (246 − 250)/5 = −0,8

z₂ = (252,75 − 250)/5 = 0,55

Площадь между

P = Φ(0,55) − Φ(−0,8) = 0,7088 − 0,2119 = 0,497

Ответ

P = 0,497

6.Нормальное распределение

Ответ: x = 189,5 cm

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева

Φ(z) = 0,95

z из таблицы

z ≈ 1,64

Возврат к исходным единицам

x = 178 + 1,64·7 = 189,5 cm

Ответ

x = 189,5 cm

7.Доверительные интервалы

Ответ: E₂ = 1,55

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Отношение предельных ошибок

E₂/E₁ = (2,576/2,576)·√(50/200) = 0,5

Новая предельная ошибка

E₂ = 3,1·0,5 = 1,55

Ответ

E₂ = 1,55

8.Доверительные интервалы

Ответ: нижняя граница = −9,806 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Объединённое стандартное отклонение

s_p² = (14·9,5² + 10·6,5²)/24 = 70,25

s_p = 8,382

Предельная ошибка

E = 2,797·8,382·√(1/15 + 1/11) = 9,306

Интервал

−0,5 ± 9,306 → [−9,806, 8,806]

Ответ

нижняя граница = −9,806 kg

9.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = 2,4

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 5/√36 = 5/6 = 0,8333

Статистика критерия

t = (52 − 50)/0,8333 = 2,4

Ответ

t = 2,4

t_{0,025; df = 35} = 2,03

|t| > 2,03, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

10.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: n = 271

Объём выборки для критерия: чтобы обнаружить истинный сдвиг δ с мощностью 1 − β одностронним z-критерием на уровне α, стандартная ошибка должна удовлетворять δ = (z_α + z_β)·σ/√n, поэтому n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² с округлением вверх.

Выразите n

n = ((1,645 + 1,645)·25/5)² = 270,6

Округлите вверх

n = 271

Ответ

n = 271

11.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r² = 0,9781

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 35/5 = 7

ȳ = 244/5 = 48,8

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 162

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 670,8

Коэффициент детерминации

r² = 162²/(40·670,8) = 0,9781

Ответ

r² = 0,9781

Прямая объясняет около 97,81% вариации y.

12.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: ŷ = 15,04

Средние

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 106/6 = 17,67

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −46

Линия регрессии

b = −46/17,5 = −2,629

a = 17,67 − (−2,629)·3,5 = 26,87

ŷ = 26,87 − 2,629·x

Прогноз

ŷ = 26,87 + (−2,629)·4,5 = 15,04

Ответ

ŷ = 15,04

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1