Описательная статистика
- Среднее
- x̄ = Σx/n
- Выборочное стандартное отклонение
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Медиана
- срединное значение упорядоченных данных
- z-оценка
- z = (x − μ)/σ
- Нормальное распределение
- 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ
Основы статистики: шпаргалка-пакет
Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.
1Формулы и методы
Вероятность
- Противоположное событие
- P(not A) = 1 − P(A)
- Правило сложения
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Независимые события
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Условная вероятность
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Биномиальное распределение
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Нормальное распределение
- z-оценка
- z = (x − μ)/σ
- Меньше x
- P(X < x) = Φ(z)
- Больше x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Между
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Процентиль
- x = μ + z·σ
Метод
- Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
- Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
- Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
- Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.
Доверительные интервалы
- σ известно
- x̄ ± z·σ/√n
- σ неизвестно
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Критическое значение z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Объём выборки
- n = (z·σ/E)², rounded up
Метод
- Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
- Найдите критическое значение для уровня доверия.
- Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
- Интервал: x̄ ± E.
Проверка гипотез и доверительные интервалы
- z-тест для среднего
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- t-тест для среднего
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Двусторонний на уровне 5%
- отвергните H0, если |z| > 1,96
- Доверительный интервал
- x̄ ± z·σ/√n
Метод
- Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
- Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
- Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
- Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.
Линейная регрессия и корреляция
- Суммы квадратов
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Угловой коэффициент
- b = Sxy/Sxx
- Свободный член
- a = ȳ − b·x̄
- Корреляция
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Остаток
- e = y − ŷ
2Тренировочные задачи
1.Описательная статистикаСредняя
Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 45, 10, 36, 48, 49, 28, 40.
n = 7
s =
2.Описательная статистикаСложная
Величина распределена нормально со средним 500 и стандартным отклонением 100. Какая доля P значений меньше 350?
μ = 500σ = 100x = 350
P =
3.ВероятностьСредняя
Для показанного распределения найдите стандартное отклонение σ величины X.
x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,35, 0,25, 0,3, 0,1
σ =
4.ВероятностьСложная
X имеет показанное распределение, а Y = 2X + 10. Найдите стандартное отклонение σY величины Y.
x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,3, 0,35Y = 2X + 10
σY =
5.Нормальное распределениеСредняя
Пусть сроки службы батареек распределены нормально со средним 500 h и стандартным отклонением 40 h. Какая доля значений лежит между 470 и 522 h? Дайте P в виде десятичной дроби.
μ = 500σ = 40x1 = 470x2 = 522
P =
6.Нормальное распределениеСложная
Распределение «сроки службы батареек» нормальное: среднее 500 h, стандартное отклонение 40 h. Перетащите границу так, чтобы закрашенные нижние 75% были слева от неё. Найдите границу x.
μ = 500 hσ = 40 h75%
x = h
7.Доверительные интервалыСредняя
Выборка из 6 элементов имеет среднее 26 и стандартное отклонение s = 20. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите верхнюю границу 90 % доверительного интервала для среднего.
n = 6x̄ = 26s = 2090%t(5) = 2,015
верхняя граница =
8.Доверительные интервалыСложная
Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 36. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 99 % доверительного интервала для среднего не превышала 2,5?
σ = 36E = 2,599%
n =
9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
Выборка из 16 студентов имеет средний балл 102,4 и выборочное стандартное отклонение 8. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 100.
μ₀ = 100x̄ = 102,4s = 8n = 16
t =
10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
Односторонний z-критерий при α = 0,05 должен обнаруживать сдвиг среднего на 3 единиц с мощностью 90 %. Стандартное отклонение равно 23. Найдите минимальный объём выборки n.
α = 0,05мощность = 90%δ = 3σ = 23zα = 1,645zβ = 1,282
n =
11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя
В таблице даны 6 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Даны их суммы. Найдите по этим суммам коэффициент корреляции Пирсона r.
n = 6Σx = 129Σy = 722Σx² = 2931Σy² = 92204Σxy = 16435
r =
12.Линейная регрессия и корреляцияСложная
В таблице даны 6 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Получено новое наблюдение (5, 17). Найдите его остаток e = y − ŷ.
n = 6(5, 17)
e =
3Растворы
1.Описательная статистика
Ответ: s = 13,83
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Среднее
x̄ = 256/7 = 36,57
Квадраты отклонений
Σ(x − x̄)² = 8,429² + (−26,57)² + (−0,5714)² + 11,43² + 12,43² + (−8,571)² + 3,429² = 1148
Стандартное отклонение
s = √(1148/6) = 13,83
Ответ
s = 13,83
2.Описательная статистика
Ответ: P = 0,06681
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Стандартизуйте
z = −1,5
Таблица нормального распределения
Φ(−1,5) = 0,06681
P = 0,06681
Ответ
P = 0,06681
3.Вероятность
Ответ: σ = 1,014
Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σY = |a|·σX; прибавление константы не меняет разброс.
Среднее
μ = 1·0,35 + 2·0,25 + 3·0,3 + 4·0,1 = 2,15
Среднее квадратов
E(X²) = 1·0,35 + 4·0,25 + 9·0,3 + 16·0,1 = 5,65
Дисперсия
Var(X) = 5,65 − 2,15² = 1,028
σ = √1,028 = 1,014
Ответ
σ = 1,014
4.Вероятность
Ответ: σY = 1,673
Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σY = |a|·σX; прибавление константы не меняет разброс.
Разброс X
μ = 1, Var(X) = 0,7, σX = 0,8367
Линейное преобразование
σY = |2|·0,8367 = 1,673
Ответ
σY = 1,673
Среднее действительно сдвигается: E(Y) = 2·1 + 10 = 12.
5.Нормальное распределение
Ответ: P = 0,4822
Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.
z-оценки
z₁ = (470 − 500)/40 = −0,75
z₂ = (522 − 500)/40 = 0,55
Площадь между
P = Φ(0,55) − Φ(−0,75) = 0,7088 − 0,2266 = 0,4822
Ответ
P = 0,4822
6.Нормальное распределение
Ответ: x = 527 h
От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.
Площадь слева
Φ(z) = 0,75
z из таблицы
z ≈ 0,67
Возврат к исходным единицам
x = 500 + 0,67·40 = 527 h
Ответ
x = 527 h
7.Доверительные интервалы
Ответ: верхняя граница = 42,45
Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.
Критическое значение
df = n − 1 = 5, t = 2,015
Предельная ошибка
E = 2,015·20/√6 = 16,45
Интервал
26 ± 16,45 → [9,548, 42,45]
Ответ
верхняя граница = 42,45
8.Доверительные интервалы
Ответ: n = 1376
Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.
Выразите n
n = (2,576·36/2,5)² = 1376
Округлите вверх
Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.
n = 1376
Ответ
n = 1376
9.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: t = 1,2
Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).
Стандартная ошибка
SE = 8/√16 = 8/4 = 2
Статистика критерия
t = (102,4 − 100)/2 = 1,2
Ответ
t = 1,2
t0,025; df = 15 = 2,131
|t| < 2.131, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).
10.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: n = 504
Объём выборки для критерия: чтобы обнаружить истинный сдвиг δ с мощностью 1 − β одностронним z-критерием на уровне α, стандартная ошибка должна удовлетворять δ = (z_α + z_β)·σ/√n, поэтому n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² с округлением вверх.
Выразите n
n = ((1,645 + 1,282)·23/3)² = 503,6
Округлите вверх
n = 504
Ответ
n = 504
11.Линейная регрессия и корреляция
Ответ: r = 0,996
Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.
Центрированные суммы
Sxy = 16435 − 129·722/6 = 912
Sxx = 2931 − 129²/6 = 157,5
Syy = 92204 − 722²/6 = 5323
Коэффициент корреляции
r = 912/√(157,5·5323) = 0,996
Ответ
r = 0,996
12.Линейная регрессия и корреляция
Ответ: e = −2,343
Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.
Средние
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 162/6 = 27
Суммы квадратов и произведений
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 268
Линия регрессии
b = 268/70 = 3,829
a = 27 − 3,829·7 = 0,2
ŷ = 0,2 + 3,829·x
Прогнозируемое значение
ŷ = 0,2 + 3,829·5 = 19,34
Остаток
e = 17 − 19,34 = −2,343
Ответ
e = −2,343
Точка лежит ниже прямой.
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1