Основы статистики: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 47, 35, 42, 24, 30, 30.

n = 6

s =

2.Описательная статистикаСложная

Баллы за экзамен распределены нормально со средним 60 и стандартным отклонением 10. Найдите z-оценку z для результата 52.

μ = 60σ = 10x = 52

z =

3.ВероятностьСредняя

Для показанного распределения найдите дисперсию Var(X) величины X.

x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,35, 0,3

Var(X) =

4.ВероятностьСложная

Испытывают 5 компонентов, каждый выходит из строя независимо с вероятностью 0,6. Какова вероятность P, что откажет не более одного?

n = 5p = 0,6

P =

5.Нормальное распределениеСредняя

Пусть массы пакетов распределены нормально со средним 250 g и стандартным отклонением 5 g. Какая доля значений лежит между 245,25 и 260 g? Дайте P в виде десятичной дроби.

μ = 250σ = 5x₁ = 245,25x₂ = 260

P =

6.Нормальное распределениеСложная

Пусть сроки доставки распределены нормально со средним 32 min и стандартным отклонением 6 min. Найдите значение x, ниже которого лежат 20 % значений (20-й процентиль).

μ = 32σ = 6P = 20%

x = min

7.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 6 элементов имеет среднее 23,5 и стандартное отклонение s = 19,5. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите нижнюю границу 90 % доверительного интервала для среднего.

n = 6x̄ = 23,5s = 19,590%t(5) = 2,015

нижняя граница =

8.Доверительные интервалыСложная

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 35. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 99 % доверительного интервала для среднего не превышала 3?

σ = 35E = 399%

n =

9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

11 сотрудников проходят тест на скорость печати до и после обучающего курса. Для каждого записывается разность d = после − до (слов в минуту). Средняя разность равна −1,06, стандартное отклонение разностей — 4,4. Найдите статистику парного критерия t для H₀: μ_d = 0.

n = 11d̄ = −1,06s_d = 4,4

t =

10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

В исследовании выздоравливают 30 из 120 пациентов, получавших лечение A, и 54 из 150 пациентов, получавших лечение B. Используя объединённую долю, найдите статистику критерия z для H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 30n₁ = 120x₂ = 54n₂ = 150

z =

11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 6 пар наблюдений x = часов подготовки и y = балл за экзамен. Найдите коэффициент детерминации r² прямой наименьших квадратов.

n = 6

r² =

12.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 5 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Спрогнозируйте ŷ при x = 3.

n = 5x = 3

ŷ =

3Растворы

1.Описательная статистика

Ответ: s = 8,524

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 208/6 = 34,67

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = 12,33² + 0,3333² + 7,333² + (−10,67)² + (−4,667)² + (−4,667)² = 363,3

Стандартное отклонение

s = √(363,3/5) = 8,524

Ответ

s = 8,524

2.Описательная статистика

Ответ: z = −0,8

Стандартизуйте

z = (52 − 60)/10 = −0,8

Ответ

z = −0,8

3.Вероятность

Ответ: Var(X) = 0,6475

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 0·0,35 + 1·0,35 + 2·0,3 = 0,95

Среднее квадратов

E(X²) = 0·0,35 + 1·0,35 + 4·0,3 = 1,55

Дисперсия

Var(X) = 1,55 − 0,95² = 0,6475

Ответ

Var(X) = 0,6475

4.Вероятность

Ответ: P = 0,08704

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Ноль и один отказ

P(X = 0) = 0,4⁵ = 0,01024

P(X = 1) = 5·0,6·0,4⁴ = 0,0768

Сложите

P = 0,01024 + 0,0768 = 0,08704

Ответ

P = 0,08704

5.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,8062

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z-оценки

z₁ = (245,25 − 250)/5 = −0,95

z₂ = (260 − 250)/5 = 2

Площадь между

P = Φ(2) − Φ(−0,95) = 0,9772 − 0,1711 = 0,8062

Ответ

P = 0,8062

6.Нормальное распределение

Ответ: x = 26,95 min

z для процентиля

Φ(z) = 0,2 → z = −0,8416

Обратно к x

x = 32 + −0,8416·6 = 26,95 min

Ответ

x = 26,95 min

7.Доверительные интервалы

Ответ: нижняя граница = 7,459

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 5, t = 2,015

Предельная ошибка

E = 2,015·19,5/√6 = 16,04

Интервал

23,5 ± 16,04 → [7,459, 39,54]

Ответ

нижняя граница = 7,459

8.Доверительные интервалы

Ответ: n = 904

Выразите n

n = (2,576·35/3)² = 903,2

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 904

Ответ

n = 904

9.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = −0,799

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Стандартная ошибка средней разности

SE = 4,4/√11 = 1,327

Статистика критерия

t = −1,06/1,327 = −0,799

Ответ

t = −0,799

При df = 10 двустороннее критическое значение на уровне 5 % равно 2,228; |t| меньше, поэтому H₀ не отвергается.

10.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: z = −1,94

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Выборочные доли

p̂₁ = 30/120 = 0,25

p̂₂ = 54/150 = 0,36

p̂ = 84/270 = 0,3111

Стандартная ошибка при H₀

SE = √(0,3111·0,6889·(1/120 + 1/150)) = 0,0567

Статистика критерия

z = (0,25 − 0,36)/0,0567 = −1,94

Ответ

z = −1,94

|z| < 1.96, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

11.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r² = 0,9894

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 366/6 = 61

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 248

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 888

Коэффициент детерминации

r² = 248²/(70·888) = 0,9894

Ответ

r² = 0,9894

Прямая объясняет около 98,94% вариации y.

12.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: ŷ = 12,55

Средние

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 110/5 = 22

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 126

Линия регрессии

b = 126/40 = 3,15

a = 22 − 3,15·6 = 3,1

ŷ = 3,1 + 3,15·x

Прогноз

ŷ = 3,1 + 3,15·3 = 12,55

Ответ

ŷ = 12,55

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1