Основы статистики: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее
x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана
срединное значение упорядоченных данных
z-оценка
z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение
68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие
P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Нормальное распределение

z-оценка
z = (x − μ)/σ
Меньше x
P(X < x) = Φ(z)
Больше x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между
Φ(z2) − Φ(z1)
Процентиль
x = μ + z·σ

Метод

  1. Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
  2. Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
  3. Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
  4. Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно
x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки
n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

  1. Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
  2. Найдите критическое значение для уровня доверия.
  3. Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
  4. Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-тест для среднего
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%
отвергните H0, если |z| > 1,96
Доверительный интервал
x̄ ± z·σ/√n

Метод

  1. Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
  2. Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
  3. Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
  4. Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент
b = Sxy/Sxx
Свободный член
a = ȳ − b·x̄
Корреляция
r = Sxy/√(SxxSyy)
Остаток
e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Описательная статистикаСредняя
2025303540

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 17, 26, 26, 40, 30.

n = 5
s =
2.Описательная статистикаСложная
z −2−1012

Баллы за экзамен распределены нормально со средним 100 и стандартным отклонением 20. Найдите z-оценку z для результата 140.

μ = 100σ = 20x = 140
z =
3.ВероятностьСредняя
xp(x)00,3510,3520,3μ = 0,95

Для показанного распределения найдите дисперсию Var(X) величины X.

x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,35, 0,3
Var(X) =
4.ВероятностьСложная
n = 10, p = 0,25: P(X = 2) = ?k012345678910

В тесте 10 вопросов с вариантами ответов. Студентка, которая угадывает, отвечает верно на каждый с вероятностью 0,25, независимо. Какова вероятность P ровно 2 верных ответов?

n = 10p = 0,25k = 2
P =
5.Нормальное распределениеСредняя
240257,5P = ?

Пусть массы пакетов распределены нормально со средним 250 g и стандартным отклонением 5 g. Какая доля значений лежит между 240 и 257,5 g? Дайте P в виде десятичной дроби.

μ = 250σ = 5x1 = 240x2 = 257,5
P =
6.Нормальное распределениеСложная
0,05 mm0D − d?

Диаметры отверстий D нормально распределены со средним 25,05 mm и стандартным отклонением 0,02 mm. Диаметры валов d независимы и нормально распределены со средним 25 mm и стандартным отклонением 0,02 mm. Случайно выбранный вал подходит, если D − d > 0. Найдите вероятность P того, что он подходит. Округлите z до двух знаков после запятой.

отверстие: μ = 25,05 mm, σ = 0,02 mmвал: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm
P =
7.Доверительные интервалыСредняя
n = 21, s = 3,5LUx̄ = 90E = ?99%

Выборка из 21 элементов имеет среднее 90 и стандартное отклонение s = 3,5. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите предельную ошибку E 99 % доверительного интервала для среднего.

n = 21x̄ = 90s = 3,599%t(20) = 2,845
E =
8.Доверительные интервалыСложная
p = 0,5, n = ?p̂ − Ep̂ + Ep̂E = 0,0590%

О доле бракованных изделий заранее ничего не известно. Сколько изделий n нужно проверить, чтобы 90 % доверительный интервал для доли имел предельную ошибку не более 0,05?

p = 0,5E = 0,0590%
n =
9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
t −2,0302,03

Выборка из 36 студентов имеет средний балл 502 и выборочное стандартное отклонение 10. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 502s = 10n = 36
t =
10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
z −1,64501,645

Выборка из 25 измерений имеет среднее 103,1. Стандартное отклонение генеральной совокупности — 12. Найдите нижнюю границу L 90 % доверительного интервала для среднего.

x̄ = 103,1σ = 12n = 2590%
L =
11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя
xy239351450551661761xy246405060

В таблице даны 6 пар наблюдений x = часов подготовки и y = балл за экзамен. Найдите коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 6
r =
12.Линейная регрессия и корреляцияСложная
xy17561961217223792581xy2025607080x = 20

В таблице даны 5 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Спрогнозируйте ŷ при x = 20.

n = 5x = 20
ŷ =

3Растворы

1.Описательная статистика

Ответ: s = 8,319

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 139/5 = 27,8

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = (−10,8)² + (−1,8)² + (−1,8)² + 12,2² + 2,2² = 276,8

Стандартное отклонение

s = √(276,8/4) = 8,319

Ответ

s = 8,319
2.Описательная статистика

Ответ: z = 2

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Стандартизуйте

z = (140 − 100)/20 = 2

Ответ

z = 2
3.Вероятность

Ответ: Var(X) = 0,6475

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σY = |a|·σX; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 0·0,35 + 1·0,35 + 2·0,3 = 0,95

Среднее квадратов

E(X²) = 0·0,35 + 1·0,35 + 4·0,3 = 1,55

Дисперсия

Var(X) = 1,55 − 0,95² = 0,6475

Ответ

Var(X) = 0,6475
4.Вероятность

Ответ: P = 0,2816

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Формула Бернулли

P(X = 2) = 45·0,252·0,758 = 45·0,0625·0,1001 = 0,2816

Ответ

P = 0,2816
5.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,9104

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z-оценки

z₁ = (240 − 250)/5 = −2
z₂ = (257,5 − 250)/5 = 1,5

Площадь между

P = Φ(1,5) − Φ(−2) = 0,9332 − 0,02275 = 0,9104

Ответ

P = 0,9104
6.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,9616

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σX² + σY², поэтому σ = √(σX² + σY²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение разности

μ = 25,05 − 25 = 0,05 mm, σ = 0,02828 mm

Стандартизуйте

z = (0 − 0,05)/0,02828 = −1,77

Вероятность

P = 1 − Φ(−1,77) = 0,9616

Ответ

P = 0,9616
7.Доверительные интервалы

Ответ: E = 2,173

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 20, t = 2,845

Предельная ошибка

E = 2,845·3,5/√21 = 2,173

Ответ

E = 2,173
8.Доверительные интервалы

Ответ: n = 271

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Выразите n

n = 1,645²·0,5·0,5/0,05² = 270,6

Округлите вверх

n = 271

Ответ

n = 271
9.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = 1,2

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 10/√36 = 10/6 = 1,667

Статистика критерия

t = (502 − 500)/1,667 = 1,2

Ответ

t = 1,2
t0,025; df = 35 = 2,03

|t| < 2.03, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

10.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: L = 99,15

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Предельная ошибка

E = 1,645·12/√25 = 3,948

Граница интервала

L = 103,1 − 3,948 = 99,15

Ответ

L = 99,15
11.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,9183

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 27/6 = 4,5
ȳ = 313/6 = 52,17

Суммы квадратов и произведений

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 70,5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 336,8

Коэффициент корреляции

r = 70,5/√(17,5·336,8) = 0,9183

Ответ

r = 0,9183
12.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: ŷ = 66,4

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 105/5 = 21
ȳ = 349/5 = 69,8

Суммы квадратов и произведений

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 136

Линия регрессии

b = 136/40 = 3,4
a = 69,8 − 3,4·21 = −1,6
ŷ = −1,6 + 3,4·x

Прогноз

ŷ = −1,6 + 3,4·20 = 66,4

Ответ

ŷ = 66,4

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1