Основы статистики: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 20, 26, 17, 11, 12.

n = 5

s =

2.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 100 и стандартным отклонением 20. Какая доля P значений больше 76?

μ = 100σ = 20x = 76

P =

3.ВероятностьСредняя

Сколькими способами N можно выбрать комиссию из 2 человек из группы из 14 человек? Порядок не важен.

n = 14k = 2

N =

4.ВероятностьСложная

X имеет показанное распределение, а Y = 0,5X + 10. Найдите стандартное отклонение σ_Y величины Y.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,25, 0,15, 0,35, 0,05, 0,2Y = 0,5X + 10

σ_Y =

5.Нормальное распределениеСредняя

Пусть баллы за экзамен распределены нормально со средним 65 баллов и стандартным отклонением 10 баллов. Какая доля значений лежит между 45 и 85 баллов? Дайте P в виде десятичной дроби.

μ = 65σ = 10x₁ = 45x₂ = 85

P =

6.Нормальное распределениеСложная

Пусть сроки службы батареек распределены нормально со средним 500 h и стандартным отклонением 40 h. Найдите значение x, ниже которого лежат 99 % значений (99-й процентиль).

μ = 500σ = 40P = 99%

x = h

7.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 16 элементов имеет среднее 72,5 и стандартное отклонение s = 8. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите нижнюю границу 95 % доверительного интервала для среднего.

n = 16x̄ = 72,5s = 895%t(15) = 2,131

нижняя граница =

8.Доверительные интервалыСложная

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 23. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 90 % доверительного интервала для среднего не превышала 2,5?

σ = 23E = 2,590%

n =

9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

10 сотрудников проходят тест на скорость печати до и после обучающего курса. Для каждого записывается разность d = после − до (слов в минуту). Средняя разность равна −12,5, стандартное отклонение разностей — 10,4. Найдите статистику парного критерия t для H₀: μ_d = 0.

n = 10d̄ = −12,5s_d = 10,4

t =

10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Выборка из 81 измерений имеет среднее 119,4. Стандартное отклонение генеральной совокупности — 5. Найдите нижнюю границу L 95 % доверительного интервала для среднего.

x̄ = 119,4σ = 5n = 8195%

L =

11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 6 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Найдите коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 6

r =

12.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 5 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. При каком значении x прямая прогнозирует ŷ = 27?

n = 5ŷ = 27

x =

3Растворы

1.Описательная статистика

Ответ: s = 6,14

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 86/5 = 17,2

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = 2,8² + 8,8² + (−0,2)² + (−6,2)² + (−5,2)² = 150,8

Стандартное отклонение

s = √(150,8/4) = 6,14

Ответ

s = 6,14

2.Описательная статистика

Ответ: P = 0,8849

Стандартизуйте

z = −1,2

Таблица нормального распределения

Φ(−1,2) = 0,1151

P = 1 − 0,1151 = 0,8849

Ответ

P = 0,8849

3.Вероятность

Ответ: N = 91

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Сочетания

C(14, 2) = (14·13)/(2·1) = 91

Ответ

N = 91

4.Вероятность

Ответ: σ_Y = 0,7

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Разброс X

μ = 2,8, Var(X) = 1,96, σ_X = 1,4

Линейное преобразование

σ_Y = |0,5|·1,4 = 0,7

Ответ

σ_Y = 0,7

Среднее действительно сдвигается: E(Y) = 0,5·2,8 + 10 = 11,4.

5.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,9545

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z-оценки

z₁ = (45 − 65)/10 = −2

z₂ = (85 − 65)/10 = 2

Площадь между

P = Φ(2) − Φ(−2) = 0,9772 − 0,02275 = 0,9545

Ответ

P = 0,9545

6.Нормальное распределение

Ответ: x = 593,1 h

z для процентиля

Φ(z) = 0,99 → z = 2,326

Обратно к x

x = 500 + 2,326·40 = 593,05 h

Ответ

x = 593,05 h

7.Доверительные интервалы

Ответ: нижняя граница = 68,24

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 15, t = 2,131

Предельная ошибка

E = 2,131·8/√16 = 4,262

Интервал

72,5 ± 4,262 → [68,24, 76,76]

Ответ

нижняя граница = 68,24

8.Доверительные интервалы

Ответ: n = 230

Выразите n

n = (1,645·23/2,5)² = 229

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 230

Ответ

n = 230

9.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = −3,801

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Стандартная ошибка средней разности

SE = 10,4/√10 = 3,289

Статистика критерия

t = −12,5/3,289 = −3,801

Ответ

t = −3,801

При df = 9 двустороннее критическое значение на уровне 5 % равно 2,262; |t| больше, поэтому H₀ отвергается.

10.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: L = 118,3

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Предельная ошибка

E = 1,96·5/√81 = 1,089

Граница интервала

L = 119,4 − 1,089 = 118,3

Ответ

L = 118,3

11.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = −0,9895

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 113/6 = 18,83

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −50,5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 148,8

Коэффициент корреляции

r = −50,5/√(17,5·148,8) = −0,9895

Ответ

r = −0,9895

12.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: x = 1,545

Средние

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 119/5 = 23,8

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −22

Линия регрессии

b = −22/10 = −2,2

a = 23,8 − (−2,2)·3 = 30,4

ŷ = 30,4 − 2,2·x

Найдите x

x = (27 − 30,4)/(−2,2) = 1,545

Ответ

x = 1,545

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1