Описательная статистика
- Среднее
- x̄ = Σx/n
- Выборочное стандартное отклонение
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Медиана
- срединное значение упорядоченных данных
- z-оценка
- z = (x − μ)/σ
- Нормальное распределение
- 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ
Основы статистики: шпаргалка-пакет
Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.
1Формулы и методы
Вероятность
- Противоположное событие
- P(not A) = 1 − P(A)
- Правило сложения
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Независимые события
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Условная вероятность
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Биномиальное распределение
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Нормальное распределение
- z-оценка
- z = (x − μ)/σ
- Меньше x
- P(X < x) = Φ(z)
- Больше x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Между
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Процентиль
- x = μ + z·σ
Метод
- Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
- Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
- Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
- Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.
Доверительные интервалы
- σ известно
- x̄ ± z·σ/√n
- σ неизвестно
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Критическое значение z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Объём выборки
- n = (z·σ/E)², rounded up
Метод
- Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
- Найдите критическое значение для уровня доверия.
- Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
- Интервал: x̄ ± E.
Проверка гипотез и доверительные интервалы
- z-тест для среднего
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- t-тест для среднего
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Двусторонний на уровне 5%
- отвергните H0, если |z| > 1,96
- Доверительный интервал
- x̄ ± z·σ/√n
Метод
- Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
- Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
- Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
- Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.
Линейная регрессия и корреляция
- Суммы квадратов
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Угловой коэффициент
- b = Sxy/Sxx
- Свободный член
- a = ȳ − b·x̄
- Корреляция
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Остаток
- e = y − ŷ
2Тренировочные задачи
1.Описательная статистикаСредняя
Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 14, 39, 50, 55, 27.
n = 5
s =
2.Описательная статистикаСложная
Величина распределена нормально со средним 50 и стандартным отклонением 5. Какая доля P значений больше 57,5?
μ = 50σ = 5x = 57,5
P =
3.ВероятностьСредняя
Правильный кубик бросают 5 раз. Какова вероятность P выбросить хотя бы одну шестёрку?
n = 5
P =
4.ВероятностьСложная
Игра стоит €1. Вы выигрываете €4 с вероятностью 0,1 и €10 с вероятностью 0,01; в остальных случаях вы ничего не выигрываете. Ставка не возвращается. Найдите ожидаемый чистый выигрыш E(G) за одну игру.
ставка = €1€4: p = 0,1€10: p = 0,01
E(G) = €
5.Нормальное распределениеСредняя
Массы объектов (пассажиры с багажом) независимы и нормально распределены со средним 85 kg и стандартным отклонением 12 kg. Найдите вероятность P того, что общая масса 5 из них превышает 384,8 kg. Округлите z до двух знаков после запятой.
μ = 85 kgσ = 12 kgn = 5> 384,8 kg
P =
6.Нормальное распределениеСложная
Пусть баллы за экзамен распределены нормально со средним 65 баллов и стандартным отклонением 10 баллов. Найдите значение x, ниже которого лежат 5 % значений (5-й процентиль).
μ = 65σ = 10P = 5%
x = баллов
7.Доверительные интервалыСредняя
Выборка из 9 элементов имеет среднее 67,5 и стандартное отклонение s = 15. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите верхнюю границу 90 % доверительного интервала для среднего.
n = 9x̄ = 67,5s = 1590%t(8) = 1,86
верхняя граница =
8.Доверительные интервалыСложная
Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 18. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 95 % доверительного интервала для среднего не превышала 4?
σ = 18E = 495%
n =
9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
Выборка из 64 студентов имеет средний балл 201,2 и выборочное стандартное отклонение 8. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 200.
μ₀ = 200x̄ = 201,2s = 8n = 64
t =
10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
Какой должна быть выборка, чтобы 90 % доверительный интервал для среднего имел предельную ошибку не более 2? Стандартное отклонение — 5. Найдите наименьший объём выборки n.
σ = 5E = 290%
n =
11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя
В таблице даны 5 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Найдите коэффициент детерминации r² прямой наименьших квадратов.
n = 5
r² =
12.Линейная регрессия и корреляцияСложная
В таблице даны 6 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. При каком значении x прямая прогнозирует ŷ = 22?
n = 6ŷ = 22
x =
3Растворы
1.Описательная статистика
Ответ: s = 16,78
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Среднее
x̄ = 185/5 = 37
Квадраты отклонений
Σ(x − x̄)² = (−23)² + 2² + 13² + 18² + (−10)² = 1126
Стандартное отклонение
s = √(1126/4) = 16,78
Ответ
s = 16,78
2.Описательная статистика
Ответ: P = 0,06681
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Стандартизуйте
z = 1,5
Таблица нормального распределения
Φ(1,5) = 0,9332
P = 1 − 0,9332 = 0,06681
Ответ
P = 0,06681
3.Вероятность
Ответ: P = 0,5981
Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Противоположное событие
P(нет шестёрки) = (5/6)5 = 0,4019
P = 1 − 0,4019 = 0,5981
Ответ
P = 0,5981
4.Вероятность
Ответ: E(G) = −0,5 €
Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σY = |a|·σX; прибавление константы не меняет разброс.
Чистые исходы
G: 3 (p = 0,1), 9 (p = 0,01), −1 (p = 0,89)
Математическое ожидание
E(G) = 3·0,1 + 9·0,01 − 1·0,89 = −0,5 €
Ответ
E(G) = −0,5 €
Отрицательное значение означает, что в среднем вы теряете деньги.
5.Нормальное распределение
Ответ: P = 0,9332
Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σX² + σY², поэтому σ = √(σX² + σY²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).
Распределение суммы
μT = 425 kg, σT = 12·√5 = 26,83 kg
Стандартизуйте
z = (384,8 − 425)/26,83 = −1,5
Вероятность
P = 1 − Φ(−1,5) = 0,9332
Ответ
P = 0,9332
6.Нормальное распределение
Ответ: x = 48,55 баллов
Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.
z для процентиля
Φ(z) = 0,05 → z = −1,645
Обратно к x
x = 65 + −1,645·10 = 48,55 баллов
Ответ
x = 48,55 баллов
7.Доверительные интервалы
Ответ: верхняя граница = 76,8
Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.
Критическое значение
df = n − 1 = 8, t = 1,86
Предельная ошибка
E = 1,86·15/√9 = 9,3
Интервал
67,5 ± 9,3 → [58,2, 76,8]
Ответ
верхняя граница = 76,8
8.Доверительные интервалы
Ответ: n = 78
Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.
Выразите n
n = (1,96·18/4)² = 77,79
Округлите вверх
Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.
n = 78
Ответ
n = 78
9.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: t = 1,2
Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).
Стандартная ошибка
SE = 8/√64 = 8/8 = 1
Статистика критерия
t = (201,2 − 200)/1 = 1,2
Ответ
t = 1,2
t0,025; df = 63 = 1,998
|t| < 1.998, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).
10.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: n = 17
Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).
Выразите n
n = (1,645·5/2)² = 16,91
Округлите вверх
n = 17
Ответ
n = 17
11.Линейная регрессия и корреляция
Ответ: r² = 0,9673
Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.
Средние
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 307/5 = 61,4
Суммы квадратов и произведений
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 158
Syy = Σ(y − ȳ)² = 645,2
Коэффициент детерминации
r² = 158²/(40·645,2) = 0,9673
Ответ
r² = 0,9673
Прямая объясняет около 96,73% вариации y.
12.Линейная регрессия и корреляция
Ответ: x = 1,556
Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.
Средние
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 101/6 = 16,83
Суммы квадратов и произведений
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −46,5
Линия регрессии
b = −46,5/17,5 = −2,657
a = 16,83 − (−2,657)·3,5 = 26,13
ŷ = 26,13 − 2,657·x
Найдите x
x = (22 − 26,13)/(−2,657) = 1,556
Ответ
x = 1,556
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1