Основы статистики: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 18, 52, 56, 33, 35, 11.

n = 6

s =

2.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 500 и стандартным отклонением 40. Какая доля P значений меньше 516?

μ = 500σ = 40x = 516

P =

3.ВероятностьСредняя

В мешочке 6 красных и 7 синих шаров. Вы вынимаете два шара, не возвращая первый. Какова вероятность P, что оба красные?

6 / 7

P =

4.ВероятностьСложная

X имеет показанное распределение, а Y = 3X + 10. Найдите стандартное отклонение σ_Y величины Y.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,05, 0,3, 0,2, 0,1, 0,35Y = 3X + 10

σ_Y =

5.Нормальное распределениеСредняя

Пусть баллы за экзамен распределены нормально со средним 65 баллов и стандартным отклонением 10 баллов. Какая доля значений лежит между 50,5 и 77,5 баллов? Дайте P в виде десятичной дроби.

μ = 65σ = 10x₁ = 50,5x₂ = 77,5

P =

6.Нормальное распределениеСложная

Пусть результаты IQ-тестов распределены нормально со средним 100 баллов и стандартным отклонением 15 баллов. Найдите значение x, ниже которого лежат 80 % значений (80-й процентиль).

μ = 100σ = 15P = 80%

x = баллов

7.Доверительные интервалыСредняя

99 % доверительный интервал для среднего, построенный по 64 наблюдениям при известном σ, имеет предельную ошибку 4,6. Какой будет предельная ошибка E₂, если в том же исследовании использовать 128 наблюдений?

99%n₁ = 64E₁ = 4,6n₂ = 128

E₂ =

8.Доверительные интервалыСложная

О доле бракованных изделий заранее ничего не известно. Сколько изделий n нужно проверить, чтобы 99 % доверительный интервал для доли имел предельную ошибку не более 0,02?

p = 0,5E = 0,0299%

n =

9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 49 студентов имеет средний балл 68,71 и выборочное стандартное отклонение 20. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 68,71s = 20n = 49

t =

10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

В исследовании выздоравливают 45 из 300 пациентов, получавших лечение A, и 5 из 100 пациентов, получавших лечение B. Используя объединённую долю, найдите статистику критерия z для H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 45n₁ = 300x₂ = 5n₂ = 100

z =

11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 5 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Найдите коэффициент детерминации r² прямой наименьших квадратов.

n = 5

r² =

12.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 6 пар наблюдений x = часов подготовки и y = балл за экзамен. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Получено новое наблюдение (8, 75). Найдите его остаток e = y − ŷ.

n = 6(8, 75)

e =

3Растворы

1.Описательная статистика

Ответ: s = 17,86

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 205/6 = 34,17

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = (−16,17)² + 17,83² + 21,83² + (−1,167)² + 0,8333² + (−23,17)² = 1595

Стандартное отклонение

s = √(1595/5) = 17,86

Ответ

s = 17,86

2.Описательная статистика

Ответ: P = 0,6554

Стандартизуйте

z = 0,4

Таблица нормального распределения

Φ(0,4) = 0,6554

P = 0,6554

Ответ

P = 0,6554

3.Вероятность

Ответ: P = 0,1923

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Первое и второе извлечение

P = 6/13 · 5/12 = 30/156 = 0,1923

Ответ

P = 0,1923

4.Вероятность

Ответ: σ_Y = 4,069

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Разброс X

μ = 2,4, Var(X) = 1,84, σ_X = 1,356

Линейное преобразование

σ_Y = |3|·1,356 = 4,069

Ответ

σ_Y = 4,069

Среднее действительно сдвигается: E(Y) = 3·2,4 + 10 = 17,2.

5.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,8208

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z-оценки

z₁ = (50,5 − 65)/10 = −1,45

z₂ = (77,5 − 65)/10 = 1,25

Площадь между

P = Φ(1,25) − Φ(−1,45) = 0,8944 − 0,07353 = 0,8208

Ответ

P = 0,8208

6.Нормальное распределение

Ответ: x = 112,6 баллов

z для процентиля

Φ(z) = 0,8 → z = 0,8416

Обратно к x

x = 100 + 0,8416·15 = 112,62 баллов

Ответ

x = 112,62 баллов

7.Доверительные интервалы

Ответ: E₂ = 3,253

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Отношение предельных ошибок

E₂/E₁ = (2,576/2,576)·√(64/128) = 0,7071

Новая предельная ошибка

E₂ = 4,6·0,7071 = 3,253

Ответ

E₂ = 3,253

8.Доверительные интервалы

Ответ: n = 4148

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Выразите n

n = 2,576²·0,5·0,5/0,02² = 4147

Округлите вверх

n = 4148

Ответ

n = 4148

9.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = −2,202

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 20/√49 = 20/7 = 2,857

Статистика критерия

t = (68,71 − 75)/2,857 = −2,202

Ответ

t = −2,202

t_{0,025; df = 48} = 2,011

|t| > 2,011, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

10.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: z = 2,619

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Выборочные доли

p̂₁ = 45/300 = 0,15

p̂₂ = 5/100 = 0,05

p̂ = 50/400 = 0,125

Стандартная ошибка при H₀

SE = √(0,125·0,875·(1/300 + 1/100)) = 0,03819

Статистика критерия

z = (0,15 − 0,05)/0,03819 = 2,619

Ответ

z = 2,619

|z| > 1,96, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

11.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r² = 0,964

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 95/5 = 19

ȳ = 375/5 = 75

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 184

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 878

Коэффициент детерминации

r² = 184²/(40·878) = 0,964

Ответ

r² = 0,964

Прямая объясняет около 96,4% вариации y.

12.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: e = −1,667

Средние

x̄ = 48/6 = 8

ȳ = 460/6 = 76,67

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 342

Линия регрессии

b = 342/70 = 4,886

a = 76,67 − 4,886·8 = 37,58

ŷ = 37,58 + 4,886·x

Прогнозируемое значение

ŷ = 37,58 + 4,886·8 = 76,67

Остаток

e = 75 − 76,67 = −1,667

Ответ

e = −1,667

Точка лежит ниже прямой.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1