Основы статистики: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 20, 26, 43, 35, 43.

n = 5

s =

2.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 170 и стандартным отклонением 5. Какая доля P значений больше 172?

μ = 170σ = 5x = 172

P =

3.ВероятностьСредняя

Для показанного распределения найдите стандартное отклонение σ величины X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,35, 0,2, 0,2, 0,25

σ =

4.ВероятностьСложная

Испытывают 10 компонентов, каждый выходит из строя независимо с вероятностью 0,2. Какова вероятность P, что откажет не более одного?

n = 10p = 0,2

P =

5.Нормальное распределениеСредняя

Пусть значения роста взрослых мужчин распределены нормально со средним 178 cm и стандартным отклонением 7 cm. Какая доля значений лежит между 172,4 и 192 cm? Дайте P в виде десятичной дроби.

μ = 178σ = 7x₁ = 172,4x₂ = 192

P =

6.Нормальное распределениеСложная

Рост мужчин X и женщин Y в группе независимы и нормально распределены: X имеет среднее 180 cm и стандартное отклонение 10 cm, Y имеет среднее 170 cm и стандартное отклонение 12 cm. Найдите вероятность P того, что X больше Y. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ_X = 180 cm, σ_X = 10 cmμ_Y = 170 cm, σ_Y = 12 cm

P =

7.Доверительные интервалыСредняя

99 % доверительный интервал для среднего, построенный по 64 наблюдениям при известном σ, имеет предельную ошибку 3,7. Какой будет предельная ошибка E₂, если в том же исследовании использовать 576 наблюдений?

99%n₁ = 64E₁ = 3,7n₂ = 576

E₂ =

8.Доверительные интервалыСложная

Пилотное исследование показывает, что бракованными являются примерно 0,3 изделий. Сколько изделий n нужно проверить, чтобы 95 % доверительный интервал для доли имел предельную ошибку не более 0,025?

p ≈ 0,3E = 0,02595%

n =

9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Утверждается, что среднее генеральной совокупности равно 80; стандартное отклонение генеральной совокупности известно и равно 48. Случайная выборка из 144 наблюдений имеет среднее 88,64. Проверьте H₀: μ = 80 против H₁: μ ≠ 80. Найдите p-значение p.

μ₀ = 80σ = 48n = 144x̄ = 88,64H₁: μ ≠ μ₀

p =

10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

В исследовании выздоравливают 60 из 200 пациентов, получавших лечение A, и 98 из 250 пациентов, получавших лечение B. Используя объединённую долю, найдите статистику критерия z для H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 60n₁ = 200x₂ = 98n₂ = 250

z =

11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 5 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Найдите коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 5

r =

12.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 6 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. При каком значении x прямая прогнозирует ŷ = 121?

n = 6ŷ = 121

x =

3Растворы

1.Описательная статистика

Ответ: s = 10,26

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 167/5 = 33,4

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = (−13,4)² + (−7,4)² + 9,6² + 1,6² + 9,6² = 421,2

Стандартное отклонение

s = √(421,2/4) = 10,26

Ответ

s = 10,26

2.Описательная статистика

Ответ: P = 0,3446

Стандартизуйте

z = 0,4

Таблица нормального распределения

Φ(0,4) = 0,6554

P = 1 − 0,6554 = 0,3446

Ответ

P = 0,3446

3.Вероятность

Ответ: σ = 1,195

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 0·0,35 + 1·0,2 + 2·0,2 + 3·0,25 = 1,35

Среднее квадратов

E(X²) = 0·0,35 + 1·0,2 + 4·0,2 + 9·0,25 = 3,25

Дисперсия

Var(X) = 3,25 − 1,35² = 1,427

σ = √1,427 = 1,195

Ответ

σ = 1,195

4.Вероятность

Ответ: P = 0,3758

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Ноль и один отказ

P(X = 0) = 0,8¹⁰ = 0,1074

P(X = 1) = 10·0,2·0,8⁹ = 0,2684

Сложите

P = 0,1074 + 0,2684 = 0,3758

Ответ

P = 0,3758

5.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,7654

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z-оценки

z₁ = (172,4 − 178)/7 = −0,8

z₂ = (192 − 178)/7 = 2

Площадь между

P = Φ(2) − Φ(−0,8) = 0,9772 − 0,2119 = 0,7654

Ответ

P = 0,7654

6.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,7389

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение разности

μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15,62 cm

Стандартизуйте

z = (0 − 10)/15,62 = −0,64

Вероятность

P = 1 − Φ(−0,64) = 0,7389

Ответ

P = 0,7389

7.Доверительные интервалы

Ответ: E₂ = 1,233

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Отношение предельных ошибок

E₂/E₁ = (2,576/2,576)·√(64/576) = 0,3333

Новая предельная ошибка

E₂ = 3,7·0,3333 = 1,233

Ответ

E₂ = 1,233

8.Доверительные интервалы

Ответ: n = 1291

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Выразите n

n = 1,96²·0,3·0,7/0,025² = 1291

Округлите вверх

n = 1291

Ответ

n = 1291

9.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: p = 0,03077

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Статистика критерия

SE = σ/√n = 48/√144 = 4

z = (88,64 − 80)/4 = 2,16

Площадь хвоста

Φ(2,16) = 0,9846

1 − Φ(2,16) = 0,0154

p-значение

p = 2·0,0154 = 0,03077

Ответ

p = 0,03077

p ≤ 0,05, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 %.

10.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: z = −2,032

Выборочные доли

p̂₁ = 60/200 = 0,3

p̂₂ = 98/250 = 0,392

p̂ = 158/450 = 0,3511

Стандартная ошибка при H₀

SE = √(0,3511·0,6489·(1/200 + 1/250)) = 0,04528

Статистика критерия

z = (0,3 − 0,392)/0,04528 = −2,032

Ответ

z = −2,032

|z| > 1,96, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

11.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,9961

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 57/5 = 11,4

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 64

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 103,2

Коэффициент корреляции

r = 64/√(40·103,2) = 0,9961

Ответ

r = 0,9961

12.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: x = 21,47

Средние

x̄ = 147/6 = 24,5

ȳ = 833/6 = 138,8

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 928,5

Линия регрессии

b = 928,5/157,5 = 5,895

a = 138,8 − 5,895·24,5 = −5,6

ŷ = −5,6 + 5,895·x

Найдите x

x = (121 − (−5,6))/5,895 = 21,47

Ответ

x = 21,47

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1