Основы статистики: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 40, 21, 34, 42, 35, 35, 52.

n = 7

s =

2.Описательная статистикаСложная

Баллы за экзамен распределены нормально со средним 170 и стандартным отклонением 15. Найдите z-оценку z для результата 147,5.

μ = 170σ = 15x = 147,5

z =

3.ВероятностьСредняя

Для показанного распределения найдите дисперсию Var(X) величины X.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,25, 0,05, 0,2, 0,2, 0,3

Var(X) =

4.ВероятностьСложная

X имеет показанное распределение, а Y = 5X + 1. Найдите стандартное отклонение σ_Y величины Y.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,35, 0,15, 0,15, 0,35Y = 5X + 1

σ_Y =

5.Нормальное распределениеСредняя

Пусть значения роста взрослых мужчин распределены нормально со средним 178 cm и стандартным отклонением 7 cm. Какая доля значений лежит между 172,75 и 190,6 cm? Дайте P в виде десятичной дроби.

μ = 178σ = 7x₁ = 172,75x₂ = 190,6

P =

6.Нормальное распределениеСложная

Пусть сроки службы батареек распределены нормально со средним 500 h и стандартным отклонением 40 h. Найдите значение x, ниже которого лежат 95 % значений (95-й процентиль).

μ = 500σ = 40P = 95%

x = h

7.Доверительные интервалыСредняя

Сравнивается время работы аккумулятора двух моделей телефонов. Модель 1: 80 телефонов, среднее 116 h, известное стандартное отклонение 11 h. Модель 2: 40 телефонов, среднее 123,5 h, известное стандартное отклонение 8 h. Найдите предельную ошибку E 99 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.

n₁ = 80x̄₁ = 116 hσ₁ = 11 hn₂ = 40x̄₂ = 123,5 hσ₂ = 8 h99%

E = h

8.Доверительные интервалыСложная

Диаметры 10 обработанных валов имеют выборочное стандартное отклонение 10,4 µm. Считая диаметры нормально распределёнными, найдите границу 95 % доверительного интервала для стандартного отклонения генеральной совокупности — верхняя граница σ. При df = 9 2,5 % распределения χ² лежит ниже 2,7 и 2,5 % — выше 19,023.

n = 10s = 10,4 µmχ² = 2,7, 19,023

σ = µm

9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Утверждается, что среднее генеральной совокупности равно 80; стандартное отклонение генеральной совокупности известно и равно 36. Случайная выборка из 144 наблюдений имеет среднее 84,74. Проверьте H₀: μ = 80 против H₁: μ ≠ 80. Найдите p-значение p.

μ₀ = 80σ = 36n = 144x̄ = 84,74H₁: μ ≠ μ₀

p =

10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Выборка из 49 измерений имеет среднее 502,2. Стандартное отклонение генеральной совокупности — 8. Найдите нижнюю границу L 99 % доверительного интервала для среднего.

x̄ = 502,2σ = 8n = 4999%

L =

11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 6 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Найдите коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 6

r =

12.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 5 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. При каком значении x прямая прогнозирует ŷ = 78?

n = 5ŷ = 78

x =

3Растворы

1.Описательная статистика

Ответ: s = 9,416

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 259/7 = 37

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = 3² + (−16)² + (−3)² + 5² + (−2)² + (−2)² + 15² = 532

Стандартное отклонение

s = √(532/6) = 9,416

Ответ

s = 9,416

2.Описательная статистика

Ответ: z = −1,5

Стандартизуйте

z = (147,5 − 170)/15 = −1,5

Ответ

z = −1,5

3.Вероятность

Ответ: Var(X) = 2,387

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 1·0,25 + 2·0,05 + 3·0,2 + 4·0,2 + 5·0,3 = 3,25

Среднее квадратов

E(X²) = 1·0,25 + 4·0,05 + 9·0,2 + 16·0,2 + 25·0,3 = 12,95

Дисперсия

Var(X) = 12,95 − 3,25² = 2,387

Ответ

Var(X) = 2,387

4.Вероятность

Ответ: σ_Y = 6,423

Разброс X

μ = 1,5, Var(X) = 1,65, σ_X = 1,285

Линейное преобразование

σ_Y = |5|·1,285 = 6,423

Ответ

σ_Y = 6,423

Среднее действительно сдвигается: E(Y) = 5·1,5 + 1 = 8,5.

5.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,7374

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z-оценки

z₁ = (172,75 − 178)/7 = −0,75

z₂ = (190,6 − 178)/7 = 1,8

Площадь между

P = Φ(1,8) − Φ(−0,75) = 0,9641 − 0,2266 = 0,7374

Ответ

P = 0,7374

6.Нормальное распределение

Ответ: x = 565,8 h

z для процентиля

Φ(z) = 0,95 → z = 1,645

Обратно к x

x = 500 + 1,645·40 = 565,8 h

Ответ

x = 565,8 h

7.Доверительные интервалы

Ответ: E = 4,545 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Точечная оценка

x̄₁ − x̄₂ = 116 − 123,5 = −7,5

Стандартная ошибка

SE = √(11²/80 + 8²/40) = 1,764

Предельная ошибка

E = 2,576·1,764 = 4,545

Ответ

E = 4,545 h

Интервал не содержит 0, поэтому средние значимо различаются.

8.Доверительные интервалы

Ответ: σ = 18,99 µm

Интервал для дисперсии: (n − 1)s²/σ² имеет распределение χ² с n − 1 степенями свободы. 95 % интервал для σ² простирается от (n − 1)s², делённого на верхнее значение χ² (выше него 2,5 %), до (n − 1)s², делённого на нижнее значение χ² (ниже него 2,5 %); интервал для σ получают извлечением квадратного корня из обеих границ. Он несимметричен относительно s.

Сумма квадратов

(n − 1)s² = 9·10,4² = 973,4

Границы для σ²

973,4/19,023 = 51,17

973,4/2,7 = 360,5

Граница для σ

σ = √360,5 = 18,99 µm

Ответ

σ = 18,99 µm

95 % интервал для σ: [7,153, 18,99] µm.

9.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: p = 0,1141

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Статистика критерия

SE = σ/√n = 36/√144 = 3

z = (84,74 − 80)/3 = 1,58

Площадь хвоста

Φ(1,58) = 0,9429

1 − Φ(1,58) = 0,0571

p-значение

p = 2·0,0571 = 0,1141

Ответ

p = 0,1141

p > 0,05, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 %.

10.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: L = 499,3

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Предельная ошибка

E = 2,576·8/√49 = 2,944

Граница интервала

L = 502,2 − 2,944 = 499,3

Ответ

L = 499,3

11.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,9022

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 27/6 = 4,5

ȳ = 237/6 = 39,5

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 52,5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 193,5

Коэффициент корреляции

r = 52,5/√(17,5·193,5) = 0,9022

Ответ

r = 0,9022

12.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: x = 21,41

Средние

x̄ = 100/5 = 20

ȳ = 364/5 = 72,8

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 333

Линия регрессии

b = 333/90 = 3,7

a = 72,8 − 3,7·20 = −1,2

ŷ = −1,2 + 3,7·x

Найдите x

x = (78 − (−1,2))/3,7 = 21,41

Ответ

x = 21,41

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1