Описательная статистика
- Среднее
- x̄ = Σx/n
- Выборочное стандартное отклонение
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Медиана
- срединное значение упорядоченных данных
- z-оценка
- z = (x − μ)/σ
- Нормальное распределение
- 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ
Основы статистики: шпаргалка-пакет
Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.
1Формулы и методы
Вероятность
- Противоположное событие
- P(not A) = 1 − P(A)
- Правило сложения
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Независимые события
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Условная вероятность
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Биномиальное распределение
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Нормальное распределение
- z-оценка
- z = (x − μ)/σ
- Меньше x
- P(X < x) = Φ(z)
- Больше x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Между
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Процентиль
- x = μ + z·σ
Метод
- Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
- Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
- Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
- Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.
Доверительные интервалы
- σ известно
- x̄ ± z·σ/√n
- σ неизвестно
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Критическое значение z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Объём выборки
- n = (z·σ/E)², rounded up
Метод
- Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
- Найдите критическое значение для уровня доверия.
- Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
- Интервал: x̄ ± E.
Проверка гипотез и доверительные интервалы
- z-тест для среднего
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- t-тест для среднего
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Двусторонний на уровне 5%
- отвергните H0, если |z| > 1,96
- Доверительный интервал
- x̄ ± z·σ/√n
Метод
- Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
- Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
- Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
- Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.
Линейная регрессия и корреляция
- Суммы квадратов
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Угловой коэффициент
- b = Sxy/Sxx
- Свободный член
- a = ȳ − b·x̄
- Корреляция
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Остаток
- e = y − ŷ
2Тренировочные задачи
1.Описательная статистикаСредняя
Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 41, 15, 14, 49, 52.
n = 5
s =
2.Описательная статистикаСложная
Величина распределена нормально со средним 70 и стандартным отклонением 10. Какая доля P значений больше 65?
μ = 70σ = 10x = 65
P =
3.ВероятностьСредняя
Сколькими способами N можно выбрать комиссию из 3 человек из группы из 7 человек? Порядок не важен.
n = 7k = 3
N =
4.ВероятностьСложная
Испытывают 8 компонентов, каждый выходит из строя независимо с вероятностью 0,6. Какова вероятность P, что откажет не более одного?
n = 8p = 0,6
P =
5.Нормальное распределениеСредняя
Перетащите z так, чтобы закрашенная площадь под стандартной нормальной кривой справа от z была равна 0,2578. Найдите z с точностью до двух знаков.
A = 0,2578
z =
6.Нормальное распределениеСложная
Диаметры отверстий D нормально распределены со средним 25,02 mm и стандартным отклонением 0,01 mm. Диаметры валов d независимы и нормально распределены со средним 25 mm и стандартным отклонением 0,02 mm. Случайно выбранный вал подходит, если D − d > 0. Найдите вероятность P того, что он подходит. Округлите z до двух знаков после запятой.
отверстие: μ = 25,02 mm, σ = 0,01 mmвал: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm
P =
7.Доверительные интервалыСредняя
Выборка из 20 элементов имеет среднее 59,5 и стандартное отклонение s = 11,5. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите нижнюю границу 90 % доверительного интервала для среднего.
n = 20x̄ = 59,5s = 11,590%t(19) = 1,729
нижняя граница =
8.Доверительные интервалыСложная
Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 21. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 99 % доверительного интервала для среднего не превышала 1?
σ = 21E = 199%
n =
9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
12 сотрудников проходят тест на скорость печати до и после обучающего курса. Для каждого записывается разность d = после − до (слов в минуту). Средняя разность равна −2,39, стандартное отклонение разностей — 9,2. Найдите статистику парного критерия t для H₀: μd = 0.
n = 12d̄ = −2,39sd = 9,2
t =
10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
Выборка из 25 измерений имеет среднее 496,2. Стандартное отклонение генеральной совокупности — 8. Найдите верхнюю границу U 99 % доверительного интервала для среднего.
x̄ = 496,2σ = 8n = 2599%
U =
11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя
В таблице даны 6 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Найдите коэффициент детерминации r² прямой наименьших квадратов.
n = 6
r² =
12.Линейная регрессия и корреляцияСложная
В таблице даны 5 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Спрогнозируйте ŷ при x = 20,5.
n = 5x = 20,5
ŷ =
3Растворы
1.Описательная статистика
Ответ: s = 18,43
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Среднее
x̄ = 171/5 = 34,2
Квадраты отклонений
Σ(x − x̄)² = 6,8² + (−19,2)² + (−20,2)² + 14,8² + 17,8² = 1359
Стандартное отклонение
s = √(1359/4) = 18,43
Ответ
s = 18,43
2.Описательная статистика
Ответ: P = 0,6915
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Стандартизуйте
z = −0,5
Таблица нормального распределения
Φ(−0,5) = 0,3085
P = 1 − 0,3085 = 0,6915
Ответ
P = 0,6915
3.Вероятность
Ответ: N = 35
Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Сочетания
C(7, 3) = (7·6·5)/(3·2·1) = 35
Ответ
N = 35
4.Вероятность
Ответ: P = 0,00852
Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Ноль и один отказ
P(X = 0) = 0,48 = 0,0006554
P(X = 1) = 8·0,6·0,47 = 0,007864
Сложите
P = 0,0006554 + 0,007864 = 0,00852
Ответ
P = 0,00852
5.Нормальное распределение
Ответ: z = 0,65
От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.
Площадь слева от z
Φ(z) = 1 − 0,2578 = 0,7422
Читайте таблицу z в обратную сторону
Найдите 0,7422 внутри таблицы и считайте z.
z = 0,65
Ответ
z = 0,65
6.Нормальное распределение
Ответ: P = 0,8133
Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σX² + σY², поэтому σ = √(σX² + σY²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).
Распределение разности
μ = 25,02 − 25 = 0,02 mm, σ = 0,02236 mm
Стандартизуйте
z = (0 − 0,02)/0,02236 = −0,89
Вероятность
P = 1 − Φ(−0,89) = 0,8133
Ответ
P = 0,8133
7.Доверительные интервалы
Ответ: нижняя граница = 55,05
Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.
Критическое значение
df = n − 1 = 19, t = 1,729
Предельная ошибка
E = 1,729·11,5/√20 = 4,446
Интервал
59,5 ± 4,446 → [55,05, 63,95]
Ответ
нижняя граница = 55,05
8.Доверительные интервалы
Ответ: n = 2927
Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.
Выразите n
n = (2,576·21/1)² = 2926
Округлите вверх
Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.
n = 2927
Ответ
n = 2927
9.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: t = −0,8999
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Стандартная ошибка средней разности
SE = 9,2/√12 = 2,656
Статистика критерия
t = −2,39/2,656 = −0,8999
Ответ
t = −0,8999
При df = 11 двустороннее критическое значение на уровне 5 % равно 2,201; |t| меньше, поэтому H₀ не отвергается.
10.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: U = 500,3
Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).
Предельная ошибка
E = 2,576·8/√25 = 4,122
Граница интервала
U = 496,2 + 4,122 = 500,3
Ответ
U = 500,3
11.Линейная регрессия и корреляция
Ответ: r² = 0,9634
Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.
Средние
x̄ = 153/6 = 25,5
ȳ = 606/6 = 101
Суммы квадратов и произведений
Sxx = Σ(x − x̄)² = 157,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 672
Syy = Σ(y − ȳ)² = 2976
Коэффициент детерминации
r² = 672²/(157,5·2976) = 0,9634
Ответ
r² = 0,9634
Прямая объясняет около 96,34% вариации y.
12.Линейная регрессия и корреляция
Ответ: ŷ = 48,85
Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.
Средние
x̄ = 110/5 = 22
ȳ = 271/5 = 54,2
Суммы квадратов и произведений
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 321
Линия регрессии
b = 321/90 = 3,567
a = 54,2 − 3,567·22 = −24,27
ŷ = −24,27 + 3,567·x
Прогноз
ŷ = −24,27 + 3,567·20,5 = 48,85
Ответ
ŷ = 48,85
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1