Основы статистики: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 36, 41, 25, 42, 27.

n = 5

s =

2.Описательная статистикаСложная

Баллы за экзамен распределены нормально со средним 60 и стандартным отклонением 5. Найдите z-оценку z для результата 70.

μ = 60σ = 5x = 70

z =

3.ВероятностьСредняя

Для показанного распределения найдите стандартное отклонение σ величины X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,3, 0,25, 0,35, 0,1

σ =

4.ВероятностьСложная

Испытывают 8 компонентов, каждый выходит из строя независимо с вероятностью 0,25. Какова вероятность P, что откажет не более одного?

n = 8p = 0,25

P =

5.Нормальное распределениеСредняя

Перетащите z так, чтобы закрашенная площадь под стандартной нормальной кривой справа от z была равна 0,9484. Найдите z с точностью до двух знаков.

A = 0,9484

z =

6.Нормальное распределениеСложная

Распределение «значения роста взрослых мужчин» нормальное: среднее 178 cm, стандартное отклонение 7 cm. Перетащите границу так, чтобы закрашенные верхние 70% были справа от неё. Найдите границу x.

μ = 178 cmσ = 7 cm70%

x = cm

7.Доверительные интервалыСредняя

99 % доверительный интервал для среднего, построенный по 64 наблюдениям при известном σ, имеет предельную ошибку 9,2. Какой будет предельная ошибка E₂ 90 % интервала по 576 наблюдениям?

99%n₁ = 64E₁ = 9,290%n₂ = 576

E₂ =

8.Доверительные интервалыСложная

Диаметры 11 обработанных валов имеют выборочное стандартное отклонение 3 µm. Считая диаметры нормально распределёнными, найдите границу 95 % доверительного интервала для стандартного отклонения генеральной совокупности — верхняя граница σ. При df = 10 2,5 % распределения χ² лежит ниже 3,247 и 2,5 % — выше 20,483.

n = 11s = 3 µmχ² = 3,247, 20,483

σ = µm

9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 49 студентов имеет средний балл 51,5 и выборочное стандартное отклонение 5. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 51,5s = 5n = 49

t =

10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Выборка из 25 измерений имеет среднее 506,8. Стандартное отклонение генеральной совокупности — 20. Найдите нижнюю границу L 90 % доверительного интервала для среднего.

x̄ = 506,8σ = 20n = 2590%

L =

11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 6 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Найдите коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 6

r =

12.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 6 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Получено новое наблюдение (5,5, 44). Найдите его остаток e = y − ŷ.

n = 6(5,5, 44)

e =

3Растворы

1.Описательная статистика

Ответ: s = 7,855

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 171/5 = 34,2

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = 1,8² + 6,8² + (−9,2)² + 7,8² + (−7,2)² = 246,8

Стандартное отклонение

s = √(246,8/4) = 7,855

Ответ

s = 7,855

2.Описательная статистика

Ответ: z = 2

Стандартизуйте

z = (70 − 60)/5 = 2

Ответ

z = 2

3.Вероятность

Ответ: σ = 0,9937

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 0·0,3 + 1·0,25 + 2·0,35 + 3·0,1 = 1,25

Среднее квадратов

E(X²) = 0·0,3 + 1·0,25 + 4·0,35 + 9·0,1 = 2,55

Дисперсия

Var(X) = 2,55 − 1,25² = 0,9875

σ = √0,9875 = 0,9937

Ответ

σ = 0,9937

4.Вероятность

Ответ: P = 0,3671

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Ноль и один отказ

P(X = 0) = 0,75⁸ = 0,1001

P(X = 1) = 8·0,25·0,75⁷ = 0,267

Сложите

P = 0,1001 + 0,267 = 0,3671

Ответ

P = 0,3671

5.Нормальное распределение

Ответ: z = −1,63

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева от z

Φ(z) = 1 − 0,9484 = 0,0516

Читайте таблицу z в обратную сторону

Найдите 0,0516 внутри таблицы и считайте z.

z = −1,63

Ответ

z = −1,63

6.Нормальное распределение

Ответ: x = 174,4 cm

Площадь слева

Φ(z) = 0,3

z из таблицы

z ≈ −0,52

Возврат к исходным единицам

x = 178 − 0,52·7 = 174,4 cm

Ответ

x = 174,4 cm

7.Доверительные интервалы

Ответ: E₂ = 1,958

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Отношение предельных ошибок

E₂/E₁ = (1,645/2,576)·√(64/576) = 0,2129

Новая предельная ошибка

E₂ = 9,2·0,2129 = 1,958

Ответ

E₂ = 1,958

8.Доверительные интервалы

Ответ: σ = 5,265 µm

Интервал для дисперсии: (n − 1)s²/σ² имеет распределение χ² с n − 1 степенями свободы. 95 % интервал для σ² простирается от (n − 1)s², делённого на верхнее значение χ² (выше него 2,5 %), до (n − 1)s², делённого на нижнее значение χ² (ниже него 2,5 %); интервал для σ получают извлечением квадратного корня из обеих границ. Он несимметричен относительно s.

Сумма квадратов

(n − 1)s² = 10·3² = 90

Границы для σ²

90/20,483 = 4,394

90/3,247 = 27,72

Граница для σ

σ = √27,72 = 5,265 µm

Ответ

σ = 5,265 µm

95 % интервал для σ: [2,096, 5,265] µm.

9.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = 2,1

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 5/√49 = 5/7 = 0,7143

Статистика критерия

t = (51,5 − 50)/0,7143 = 2,1

Ответ

t = 2,1

t_{0,025; df = 48} = 2,011

|t| > 2,011, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

10.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: L = 500,2

Предельная ошибка

E = 1,645·20/√25 = 6,58

Граница интервала

L = 506,8 − 6,58 = 500,2

Ответ

L = 500,2

11.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = −0,9648

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 103/6 = 17,17

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −51,5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 162,8

Коэффициент корреляции

r = −51,5/√(17,5·162,8) = −0,9648

Ответ

r = −0,9648

12.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: e = −3,452

Средние

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 235/6 = 39,17

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 72,5

Линия регрессии

b = 72,5/17,5 = 4,143

a = 39,17 − 4,143·3,5 = 24,67

ŷ = 24,67 + 4,143·x

Прогнозируемое значение

ŷ = 24,67 + 4,143·5,5 = 47,45

Остаток

e = 44 − 47,45 = −3,452

Ответ

e = −3,452

Точка лежит ниже прямой.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1