Основы статистики: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 60, 54, 35, 52, 38, 57, 20.

n = 7

s =

2.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 50 и стандартным отклонением 20. Какая доля P значений больше 75?

μ = 50σ = 20x = 75

P =

3.ВероятностьСредняя

Для показанного распределения найдите дисперсию Var(X) величины X.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,25, 0,2, 0,2, 0,25, 0,1

Var(X) =

4.ВероятностьСложная

Испытывают 5 компонентов, каждый выходит из строя независимо с вероятностью 0,5. Какова вероятность P, что откажет не более одного?

n = 5p = 0,5

P =

5.Нормальное распределениеСредняя

Пусть баллы за экзамен распределены нормально со средним 65 баллов и стандартным отклонением 10 баллов. Какая доля значений лежит между 50 и 80,5 баллов? Дайте P в виде десятичной дроби.

μ = 65σ = 10x₁ = 50x₂ = 80,5

P =

6.Нормальное распределениеСложная

Пусть баллы за экзамен распределены нормально со средним 65 баллов и стандартным отклонением 10 баллов. Найдите значение x, ниже которого лежат 99 % значений (99-й процентиль).

μ = 65σ = 10P = 99%

x = баллов

7.Доверительные интервалыСредняя

95 % доверительный интервал для среднего, построенный по 100 наблюдениям при известном σ, имеет предельную ошибку 9. Какой будет предельная ошибка E₂ 90 % интервала по 25 наблюдениям?

95%n₁ = 100E₁ = 990%n₂ = 25

E₂ =

8.Доверительные интервалыСложная

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 25. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 99 % доверительного интервала для среднего не превышала 2,5?

σ = 25E = 2,599%

n =

9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 36 студентов имеет средний балл 197 и выборочное стандартное отклонение 10. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 197s = 10n = 36

t =

10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

В исследовании выздоравливают 60 из 120 пациентов, получавших лечение A, и 63 из 150 пациентов, получавших лечение B. Используя объединённую долю, найдите статистику критерия z для H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 60n₁ = 120x₂ = 63n₂ = 150

z =

11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 5 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Найдите коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 5

r =

12.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 6 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Получено новое наблюдение (27,5, 145). Найдите его остаток e = y − ŷ.

n = 6(27,5, 145)

e =

3Растворы

1.Описательная статистика

Ответ: s = 14,57

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 316/7 = 45,14

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = 14,86² + 8,857² + (−10,14)² + 6,857² + (−7,143)² + 11,86² + (−25,14)² = 1273

Стандартное отклонение

s = √(1273/6) = 14,57

Ответ

s = 14,57

2.Описательная статистика

Ответ: P = 0,1056

Стандартизуйте

z = 1,25

Таблица нормального распределения

Φ(1,25) = 0,8944

P = 1 − 0,8944 = 0,1056

Ответ

P = 0,1056

3.Вероятность

Ответ: Var(X) = 1,787

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 0·0,25 + 1·0,2 + 2·0,2 + 3·0,25 + 4·0,1 = 1,75

Среднее квадратов

E(X²) = 0·0,25 + 1·0,2 + 4·0,2 + 9·0,25 + 16·0,1 = 4,85

Дисперсия

Var(X) = 4,85 − 1,75² = 1,787

Ответ

Var(X) = 1,787

4.Вероятность

Ответ: P = 0,1875

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Ноль и один отказ

P(X = 0) = 0,5⁵ = 0,03125

P(X = 1) = 5·0,5·0,5⁴ = 0,1563

Сложите

P = 0,03125 + 0,1563 = 0,1875

Ответ

P = 0,1875

5.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,8726

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z-оценки

z₁ = (50 − 65)/10 = −1,5

z₂ = (80,5 − 65)/10 = 1,55

Площадь между

P = Φ(1,55) − Φ(−1,5) = 0,9394 − 0,06681 = 0,8726

Ответ

P = 0,8726

6.Нормальное распределение

Ответ: x = 88,26 баллов

z для процентиля

Φ(z) = 0,99 → z = 2,326

Обратно к x

x = 65 + 2,326·10 = 88,26 баллов

Ответ

x = 88,26 баллов

7.Доверительные интервалы

Ответ: E₂ = 15,11

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Отношение предельных ошибок

E₂/E₁ = (1,645/1,96)·√(100/25) = 1,679

Новая предельная ошибка

E₂ = 9·1,679 = 15,11

Ответ

E₂ = 15,11

8.Доверительные интервалы

Ответ: n = 664

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Выразите n

n = (2,576·25/2,5)² = 663,6

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 664

Ответ

n = 664

9.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = −1,8

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 10/√36 = 10/6 = 1,667

Статистика критерия

t = (197 − 200)/1,667 = −1,8

Ответ

t = −1,8

t_{0,025; df = 35} = 2,03

|t| < 2.03, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

10.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: z = 1,312

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Выборочные доли

p̂₁ = 60/120 = 0,5

p̂₂ = 63/150 = 0,42

p̂ = 123/270 = 0,4556

Стандартная ошибка при H₀

SE = √(0,4556·0,5444·(1/120 + 1/150)) = 0,06099

Статистика критерия

z = (0,5 − 0,42)/0,06099 = 1,312

Ответ

z = 1,312

|z| < 1.96, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

11.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,9865

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 105/5 = 21

ȳ = 390/5 = 78

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 372

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1580

Коэффициент корреляции

r = 372/√(90·1580) = 0,9865

Ответ

r = 0,9865

12.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: e = −3,352

Средние

x̄ = 129/6 = 21,5

ȳ = 694/6 = 115,7

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 858

Линия регрессии

b = 858/157,5 = 5,448

a = 115,7 − 5,448·21,5 = −1,457

ŷ = −1,457 + 5,448·x

Прогнозируемое значение

ŷ = −1,457 + 5,448·27,5 = 148,4

Остаток

e = 145 − 148,4 = −3,352

Ответ

e = −3,352

Точка лежит ниже прямой.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1