Описательная статистика
- Среднее
- x̄ = Σx/n
- Выборочное стандартное отклонение
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Медиана
- срединное значение упорядоченных данных
- z-оценка
- z = (x − μ)/σ
- Нормальное распределение
- 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ
Основы статистики: шпаргалка-пакет
Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.
1Формулы и методы
Вероятность
- Противоположное событие
- P(not A) = 1 − P(A)
- Правило сложения
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Независимые события
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Условная вероятность
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Биномиальное распределение
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Нормальное распределение
- z-оценка
- z = (x − μ)/σ
- Меньше x
- P(X < x) = Φ(z)
- Больше x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Между
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Процентиль
- x = μ + z·σ
Метод
- Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
- Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
- Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
- Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.
Доверительные интервалы
- σ известно
- x̄ ± z·σ/√n
- σ неизвестно
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Критическое значение z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Объём выборки
- n = (z·σ/E)², rounded up
Метод
- Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
- Найдите критическое значение для уровня доверия.
- Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
- Интервал: x̄ ± E.
Проверка гипотез и доверительные интервалы
- z-тест для среднего
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- t-тест для среднего
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Двусторонний на уровне 5%
- отвергните H0, если |z| > 1,96
- Доверительный интервал
- x̄ ± z·σ/√n
Метод
- Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
- Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
- Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
- Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.
Линейная регрессия и корреляция
- Суммы квадратов
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Угловой коэффициент
- b = Sxy/Sxx
- Свободный член
- a = ȳ − b·x̄
- Корреляция
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Остаток
- e = y − ŷ
2Тренировочные задачи
1.Описательная статистикаСредняя
Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 55, 17, 42, 14, 50, 36, 14.
n = 7
s =
2.Описательная статистикаСложная
Величина распределена нормально со средним 70 и стандартным отклонением 10. Какая доля P значений больше 82,5?
μ = 70σ = 10x = 82,5
P =
3.ВероятностьСредняя
Сколькими способами N можно выбрать комиссию из 2 человек из группы из 7 человек? Порядок не важен.
n = 7k = 2
N =
4.ВероятностьСложная
Испытывают 10 компонентов, каждый выходит из строя независимо с вероятностью 0,5. Какова вероятность P, что откажет не более одного?
n = 10p = 0,5
P =
5.Нормальное распределениеСредняя
Пусть баллы за экзамен распределены нормально со средним 65 баллов и стандартным отклонением 10 баллов. Какая доля значений лежит между 65 и 83,5 баллов? Дайте P в виде десятичной дроби.
μ = 65σ = 10x1 = 65x2 = 83,5
P =
6.Нормальное распределениеСложная
Пусть баллы за экзамен распределены нормально со средним 65 баллов и стандартным отклонением 10 баллов. Найдите значение x, ниже которого лежат 97,5 % значений (97,5-й процентиль).
μ = 65σ = 10P = 97,5%
x = баллов
7.Доверительные интервалыСредняя
У 9 пациентов измеряют артериальное давление до и после лечения. Разности d = до − после (mmHg) имеют среднее 4 и стандартное отклонение 5,2. Найдите предельную ошибку E 95 % доверительного интервала для средней разности.
n = 9d̄ = 4sd = 5,295%t(8) = 2,306
E = mmHg
8.Доверительные интервалыСложная
Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 36. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 99 % доверительного интервала для среднего не превышала 2?
σ = 36E = 299%
n =
9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
10 сотрудников проходят тест на скорость печати до и после обучающего курса. Для каждого записывается разность d = после − до (слов в минуту). Средняя разность равна 2,83, стандартное отклонение разностей — 11,2. Найдите статистику парного критерия t для H₀: μd = 0.
n = 10d̄ = 2,83sd = 11,2
t =
10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
Какой должна быть выборка, чтобы 90 % доверительный интервал для среднего имел предельную ошибку не более 1,5? Стандартное отклонение — 8. Найдите наименьший объём выборки n.
σ = 8E = 1,590%
n =
11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя
В таблице даны 6 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Найдите коэффициент детерминации r² прямой наименьших квадратов.
n = 6
r² =
12.Линейная регрессия и корреляцияСложная
В таблице даны 6 пар наблюдений x = часов подготовки и y = балл за экзамен. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Спрогнозируйте ŷ при x = 5.
n = 6x = 5
ŷ =
3Растворы
1.Описательная статистика
Ответ: s = 17,51
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Среднее
x̄ = 228/7 = 32,57
Квадраты отклонений
Σ(x − x̄)² = 22,43² + (−15,57)² + 9,429² + (−18,57)² + 17,43² + 3,429² + (−18,57)² = 1840
Стандартное отклонение
s = √(1840/6) = 17,51
Ответ
s = 17,51
2.Описательная статистика
Ответ: P = 0,1056
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Стандартизуйте
z = 1,25
Таблица нормального распределения
Φ(1,25) = 0,8944
P = 1 − 0,8944 = 0,1056
Ответ
P = 0,1056
3.Вероятность
Ответ: N = 21
Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Сочетания
C(7, 2) = (7·6)/(2·1) = 21
Ответ
N = 21
4.Вероятность
Ответ: P = 0,01074
Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Ноль и один отказ
P(X = 0) = 0,510 = 0,0009766
P(X = 1) = 10·0,5·0,59 = 0,009766
Сложите
P = 0,0009766 + 0,009766 = 0,01074
Ответ
P = 0,01074
5.Нормальное распределение
Ответ: P = 0,4678
Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.
z-оценки
z₁ = (65 − 65)/10 = 0
z₂ = (83,5 − 65)/10 = 1,85
Площадь между
P = Φ(1,85) − Φ(0) = 0,9678 − 0,5 = 0,4678
Ответ
P = 0,4678
6.Нормальное распределение
Ответ: x = 84,6 баллов
Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.
z для процентиля
Φ(z) = 0,975 → z = 1,96
Обратно к x
x = 65 + 1,96·10 = 84,6 баллов
Ответ
x = 84,6 баллов
7.Доверительные интервалы
Ответ: E = 3,997 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Критическое значение
df = 8, t = 2,306
Предельная ошибка
E = 2,306·5,2/√9 = 3,997
Ответ
E = 3,997 mmHg
8.Доверительные интервалы
Ответ: n = 2150
Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.
Выразите n
n = (2,576·36/2)² = 2150
Округлите вверх
Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.
n = 2150
Ответ
n = 2150
9.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: t = 0,799
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Стандартная ошибка средней разности
SE = 11,2/√10 = 3,542
Статистика критерия
t = 2,83/3,542 = 0,799
Ответ
t = 0,799
При df = 9 двустороннее критическое значение на уровне 5 % равно 2,262; |t| меньше, поэтому H₀ не отвергается.
10.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: n = 77
Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).
Выразите n
n = (1,645·8/1,5)² = 76,97
Округлите вверх
n = 77
Ответ
n = 77
11.Линейная регрессия и корреляция
Ответ: r² = 0,9354
Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.
Средние
x̄ = 138/6 = 23
ȳ = 507/6 = 84,5
Суммы квадратов и произведений
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 333
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1694
Коэффициент детерминации
r² = 333²/(70·1694) = 0,9354
Ответ
r² = 0,9354
Прямая объясняет около 93,54% вариации y.
12.Линейная регрессия и корреляция
Ответ: ŷ = 69,67
Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.
Средние
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 502/6 = 83,67
Суммы квадратов и произведений
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 490
Линия регрессии
b = 490/70 = 7
a = 83,67 − 7·7 = 34,67
ŷ = 34,67 + 7·x
Прогноз
ŷ = 34,67 + 7·5 = 69,67
Ответ
ŷ = 69,67
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1