Основы статистики: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее
x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана
срединное значение упорядоченных данных
z-оценка
z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение
68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие
P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Нормальное распределение

z-оценка
z = (x − μ)/σ
Меньше x
P(X < x) = Φ(z)
Больше x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между
Φ(z2) − Φ(z1)
Процентиль
x = μ + z·σ

Метод

  1. Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
  2. Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
  3. Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
  4. Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно
x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки
n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

  1. Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
  2. Найдите критическое значение для уровня доверия.
  3. Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
  4. Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-тест для среднего
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%
отвергните H0, если |z| > 1,96
Доверительный интервал
x̄ ± z·σ/√n

Метод

  1. Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
  2. Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
  3. Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
  4. Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент
b = Sxy/Sxx
Свободный член
a = ȳ − b·x̄
Корреляция
r = Sxy/√(SxxSyy)
Остаток
e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Описательная статистикаСредняя
152025303540455055

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 34, 22, 55, 28, 21, 59, 15.

n = 7
s =
2.Описательная статистикаСложная
z −2−1012

Баллы за экзамен распределены нормально со средним 100 и стандартным отклонением 5. Найдите z-оценку z для результата 94.

μ = 100σ = 5x = 94
z =
3.ВероятностьСредняя
P(хотя бы одна шестёрка) = ??1?2?3?4?5?6?7?8P(шестёрка) = 1/6 при каждом броске

Правильный кубик бросают 8 раз. Какова вероятность P выбросить хотя бы одну шестёрку?

n = 8
P =
4.ВероятностьСложная
n = 12, p = 0,1: P(X ≤ 1) = ?k0123456789101112

Испытывают 12 компонентов, каждый выходит из строя независимо с вероятностью 0,1. Какова вероятность P, что откажет не более одного?

n = 12p = 0,1
P =
5.Нормальное распределениеСредняя
6080P = ?

Пусть баллы за экзамен распределены нормально со средним 65 баллов и стандартным отклонением 10 баллов. Какая доля значений лежит между 60 и 80 баллов? Дайте P в виде десятичной дроби.

μ = 65σ = 10x1 = 60x2 = 80
P =
6.Нормальное распределениеСложная
μ = 100x = ?99%

Пусть результаты IQ-тестов распределены нормально со средним 100 баллов и стандартным отклонением 15 баллов. Найдите значение x, ниже которого лежат 99 % значений (99-й процентиль).

μ = 100σ = 15P = 99%
x = баллов
7.Доверительные интервалыСредняя
x̄E₁ = 395%, n = 50x̄E₂ = ?95%, n = 200

95 % доверительный интервал для среднего, построенный по 50 наблюдениям при известном σ, имеет предельную ошибку 3. Какой будет предельная ошибка E₂, если в том же исследовании использовать 200 наблюдений?

95%n₁ = 50E₁ = 3n₂ = 200
E₂ =
8.Доверительные интервалыСложная
σ = 12, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 195%

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 12. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 95 % доверительного интервала для среднего не превышала 1?

σ = 12E = 195%
n =
9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
−2,1312,131t = ?df = 15

16 сотрудников проходят тест на скорость печати до и после обучающего курса. Для каждого записывается разность d = после − до (слов в минуту). Средняя разность равна 9,78, стандартное отклонение разностей — 11,5. Найдите статистику парного критерия t для H₀: μd = 0.

n = 16d̄ = 9,78sd = 11,5
t =
10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
H₀H₁μ₀x̄cμ₀ + 2α = 0,01βσ = 11, мощность 95%, n = ?

Односторонний z-критерий при α = 0,01 должен обнаруживать сдвиг среднего на 2 единиц с мощностью 95 %. Стандартное отклонение равно 11. Найдите минимальный объём выборки n.

α = 0,01мощность = 95%δ = 2σ = 11zα = 2,326zβ = 1,645
n =
11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя
xy146242347450555658xy246455055

В таблице даны 6 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Даны их суммы. Найдите по этим суммам коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 6Σx = 21Σy = 298Σx² = 91Σy² = 14978Σxy = 1094
r =
12.Линейная регрессия и корреляцияСложная
xy130346552765974xy54060ŷ = 59

В таблице даны 5 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. При каком значении x прямая прогнозирует ŷ = 59?

n = 5ŷ = 59
x =

3Растворы

1.Описательная статистика

Ответ: s = 17,19

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 234/7 = 33,43

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = 0,5714² + (−11,43)² + 21,57² + (−5,429)² + (−12,43)² + 25,57² + (−18,43)² = 1774

Стандартное отклонение

s = √(1774/6) = 17,19

Ответ

s = 17,19
2.Описательная статистика

Ответ: z = −1,2

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Стандартизуйте

z = (94 − 100)/5 = −1,2

Ответ

z = −1,2
3.Вероятность

Ответ: P = 0,7674

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Противоположное событие

P(нет шестёрки) = (5/6)8 = 0,2326
P = 1 − 0,2326 = 0,7674

Ответ

P = 0,7674
4.Вероятность

Ответ: P = 0,659

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Ноль и один отказ

P(X = 0) = 0,912 = 0,2824
P(X = 1) = 12·0,1·0,911 = 0,3766

Сложите

P = 0,2824 + 0,3766 = 0,659

Ответ

P = 0,659
5.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,6247

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z-оценки

z₁ = (60 − 65)/10 = −0,5
z₂ = (80 − 65)/10 = 1,5

Площадь между

P = Φ(1,5) − Φ(−0,5) = 0,9332 − 0,3085 = 0,6247

Ответ

P = 0,6247
6.Нормальное распределение

Ответ: x = 134,9 баллов

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z для процентиля

Φ(z) = 0,99 → z = 2,326

Обратно к x

x = 100 + 2,326·15 = 134,89 баллов

Ответ

x = 134,89 баллов
7.Доверительные интервалы

Ответ: E₂ = 1,5

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Отношение предельных ошибок

E₂/E₁ = (1,96/1,96)·√(50/200) = 0,5

Новая предельная ошибка

E₂ = 3·0,5 = 1,5

Ответ

E₂ = 1,5
8.Доверительные интервалы

Ответ: n = 554

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Выразите n

n = (1,96·12/1)² = 553,2

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 554

Ответ

n = 554
9.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = 3,402

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Стандартная ошибка средней разности

SE = 11,5/√16 = 2,875

Статистика критерия

t = 9,78/2,875 = 3,402

Ответ

t = 3,402

При df = 15 двустороннее критическое значение на уровне 5 % равно 2,131; |t| больше, поэтому H₀ отвергается.

10.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: n = 478

Объём выборки для критерия: чтобы обнаружить истинный сдвиг δ с мощностью 1 − β одностронним z-критерием на уровне α, стандартная ошибка должна удовлетворять δ = (z_α + z_β)·σ/√n, поэтому n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² с округлением вверх.

Выразите n

n = ((2,326 + 1,645)·11/2)² = 477

Округлите вверх

n = 478

Ответ

n = 478
11.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,9155

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Центрированные суммы

Sxy = 1094 − 21·298/6 = 51
Sxx = 91 − 21²/6 = 17,5
Syy = 14978 − 298²/6 = 177,3

Коэффициент корреляции

r = 51/√(17,5·177,3) = 0,9155

Ответ

r = 0,9155
12.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: x = 6,047

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 267/5 = 53,4

Суммы квадратов и произведений

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 214

Линия регрессии

b = 214/40 = 5,35
a = 53,4 − 5,35·5 = 26,65
ŷ = 26,65 + 5,35·x

Найдите x

x = (59 − 26,65)/5,35 = 6,047

Ответ

x = 6,047

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1