Основы статистики: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 30, 27, 49, 58, 12.

n = 5

s =

2.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 60 и стандартным отклонением 8. Какая доля P значений больше 50,4?

μ = 60σ = 8x = 50,4

P =

3.ВероятностьСредняя

В мешочке 6 красных и 5 синих шаров. Вы вынимаете два шара, не возвращая первый. Какова вероятность P, что оба красные?

6 / 5

P =

4.ВероятностьСложная

X имеет показанное распределение, а Y = 3X + 1. Найдите стандартное отклонение σ_Y величины Y.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,2, 0,35, 0,35, 0,1Y = 3X + 1

σ_Y =

5.Нормальное распределениеСредняя

X нормальна со средним 120 mm и стандартным отклонением 0,3 mm; Y независима и нормальна со средним 80 mm и стандартным отклонением 0,4 mm. Найдите вероятность P того, что X + Y больше 201 mm. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ_X = 120, σ_X = 0,3μ_Y = 80, σ_Y = 0,4X + Y > 201 mm

P =

6.Нормальное распределениеСложная

Пусть результаты IQ-тестов распределены нормально со средним 100 баллов и стандартным отклонением 15 баллов. Найдите значение x, ниже которого лежат 5 % значений (5-й процентиль).

μ = 100σ = 15P = 5%

x = баллов

7.Доверительные интервалыСредняя

Сравнивается время работы аккумулятора двух моделей телефонов. Модель 1: 40 телефонов, среднее 83 h, известное стандартное отклонение 12 h. Модель 2: 80 телефонов, среднее 75 h, известное стандартное отклонение 6 h. Найдите предельную ошибку E 95 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.

n₁ = 40x̄₁ = 83 hσ₁ = 12 hn₂ = 80x̄₂ = 75 hσ₂ = 6 h95%

E = h

8.Доверительные интервалыСложная

Пилотное исследование показывает, что бракованными являются примерно 0,2 изделий. Сколько изделий n нужно проверить, чтобы 90 % доверительный интервал для доли имел предельную ошибку не более 0,03?

p ≈ 0,2E = 0,0390%

n =

9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 16 студентов имеет средний балл 494,5 и выборочное стандартное отклонение 10. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 494,5s = 10n = 16

t =

10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Какой должна быть выборка, чтобы 99 % доверительный интервал для среднего имел предельную ошибку не более 3? Стандартное отклонение — 4. Найдите наименьший объём выборки n.

σ = 4E = 399%

n =

11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 5 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Найдите коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 5

r =

12.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 5 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. При каком значении x прямая прогнозирует ŷ = 99?

n = 5ŷ = 99

x =

3Растворы

1.Описательная статистика

Ответ: s = 18,32

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 176/5 = 35,2

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = (−5,2)² + (−8,2)² + 13,8² + 22,8² + (−23,2)² = 1343

Стандартное отклонение

s = √(1343/4) = 18,32

Ответ

s = 18,32

2.Описательная статистика

Ответ: P = 0,8849

Стандартизуйте

z = −1,2

Таблица нормального распределения

Φ(−1,2) = 0,1151

P = 1 − 0,1151 = 0,8849

Ответ

P = 0,8849

3.Вероятность

Ответ: P = 0,2727

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Первое и второе извлечение

P = 6/11 · 5/10 = 30/110 = 0,2727

Ответ

P = 0,2727

4.Вероятность

Ответ: σ_Y = 2,729

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Разброс X

μ = 1,35, Var(X) = 0,8275, σ_X = 0,9097

Линейное преобразование

σ_Y = |3|·0,9097 = 2,729

Ответ

σ_Y = 2,729

Среднее действительно сдвигается: E(Y) = 3·1,35 + 1 = 5,05.

5.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,02275

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение суммы

μ = 200 mm, σ = √(0,3² + 0,4²) = 0,5 mm

Стандартизуйте

z = (201 − 200)/0,5 = 2

Верхний хвост

P = 1 − Φ(2) = 1 − 0,9772 = 0,02275

Ответ

P = 0,02275

6.Нормальное распределение

Ответ: x = 75,33 баллов

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z для процентиля

Φ(z) = 0,05 → z = −1,645

Обратно к x

x = 100 + −1,645·15 = 75,33 баллов

Ответ

x = 75,33 баллов

7.Доверительные интервалы

Ответ: E = 3,944 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Точечная оценка

x̄₁ − x̄₂ = 83 − 75 = 8

Стандартная ошибка

SE = √(12²/40 + 6²/80) = 2,012

Предельная ошибка

E = 1,96·2,012 = 3,944

Ответ

E = 3,944 h

Интервал не содержит 0, поэтому средние значимо различаются.

8.Доверительные интервалы

Ответ: n = 482

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Выразите n

n = 1,645²·0,2·0,8/0,03² = 481,1

Округлите вверх

n = 482

Ответ

n = 482

9.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = −2,2

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 10/√16 = 10/4 = 2,5

Статистика критерия

t = (494,5 − 500)/2,5 = −2,2

Ответ

t = −2,2

t_{0,025; df = 15} = 2,131

|t| > 2,131, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

10.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: n = 12

Выразите n

n = (2,576·4/3)² = 11,8

Округлите вверх

n = 12

Ответ

n = 12

11.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,9347

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 35/5 = 7

ȳ = 249/5 = 49,8

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 98

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 274,8

Коэффициент корреляции

r = 98/√(40·274,8) = 0,9347

Ответ

r = 0,9347

12.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: x = 22,99

Средние

x̄ = 100/5 = 20

ȳ = 421/5 = 84,2

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 198

Линия регрессии

b = 198/40 = 4,95

a = 84,2 − 4,95·20 = −14,8

ŷ = −14,8 + 4,95·x

Найдите x

x = (99 − (−14,8))/4,95 = 22,99

Ответ

x = 22,99

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1