Основы статистики: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 21, 31, 35, 33, 21.

n = 5

s =

2.Описательная статистикаСложная

Баллы за экзамен распределены нормально со средним 70 и стандартным отклонением 5. Найдите z-оценку z для результата 73.

μ = 70σ = 5x = 73

z =

3.ВероятностьСредняя

Для показанного распределения найдите стандартное отклонение σ величины X.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,15, 0,35, 0,3, 0,2

σ =

4.ВероятностьСложная

Игра стоит €1. Вы выигрываете €2 с вероятностью 0,2 и €10 с вероятностью 0,05; в остальных случаях вы ничего не выигрываете. Ставка не возвращается. Найдите ожидаемый чистый выигрыш E(G) за одну игру.

ставка = €1€2: p = 0,2€10: p = 0,05

E(G) = €

5.Нормальное распределениеСредняя

Пусть сроки службы батареек распределены нормально со средним 500 h и стандартным отклонением 40 h. Какая доля значений лежит между 420 и 520 h? Дайте P в виде десятичной дроби.

μ = 500σ = 40x₁ = 420x₂ = 520

P =

6.Нормальное распределениеСложная

Диаметры отверстий D нормально распределены со средним 25,05 mm и стандартным отклонением 0,015 mm. Диаметры валов d независимы и нормально распределены со средним 25 mm и стандартным отклонением 0,02 mm. Случайно выбранный вал подходит, если D − d > 0. Найдите вероятность P того, что он подходит. Округлите z до двух знаков после запятой.

отверстие: μ = 25,05 mm, σ = 0,015 mmвал: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm

P =

7.Доверительные интервалыСредняя

Сравнивается время работы аккумулятора двух моделей телефонов. Модель 1: 40 телефонов, среднее 141 h, известное стандартное отклонение 5 h. Модель 2: 80 телефонов, среднее 128 h, известное стандартное отклонение 10 h. Найдите верхнюю границу 90 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.

n₁ = 40x̄₁ = 141 hσ₁ = 5 hn₂ = 80x̄₂ = 128 hσ₂ = 10 h90%

верхняя граница = h

8.Доверительные интервалыСложная

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 12. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 95 % доверительного интервала для среднего не превышала 4?

σ = 12E = 495%

n =

9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 81 студентов имеет средний балл 498,1 и выборочное стандартное отклонение 12. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 498,1s = 12n = 81

t =

10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

В исследовании выздоравливают 48 из 80 пациентов, получавших лечение A, и 128 из 200 пациентов, получавших лечение B. Используя объединённую долю, найдите статистику критерия z для H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 48n₁ = 80x₂ = 128n₂ = 200

z =

11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 5 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Найдите коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 5

r =

12.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 5 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. При каком значении x прямая прогнозирует ŷ = 17?

n = 5ŷ = 17

x =

3Растворы

1.Описательная статистика

Ответ: s = 6,723

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 141/5 = 28,2

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = (−7,2)² + 2,8² + 6,8² + 4,8² + (−7,2)² = 180,8

Стандартное отклонение

s = √(180,8/4) = 6,723

Ответ

s = 6,723

2.Описательная статистика

Ответ: z = 0,6

Стандартизуйте

z = (73 − 70)/5 = 0,6

Ответ

z = 0,6

3.Вероятность

Ответ: σ = 9,734

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 10·0,15 + 20·0,35 + 30·0,3 + 40·0,2 = 25,5

Среднее квадратов

E(X²) = 100·0,15 + 400·0,35 + 900·0,3 + 1600·0,2 = 745

Дисперсия

Var(X) = 745 − 25,5² = 94,75

σ = √94,75 = 9,734

Ответ

σ = 9,734

4.Вероятность

Ответ: E(G) = −0,1 €

Чистые исходы

G: 1 (p = 0,2), 9 (p = 0,05), −1 (p = 0,75)

Математическое ожидание

E(G) = 1·0,2 + 9·0,05 − 1·0,75 = −0,1 €

Ответ

E(G) = −0,1 €

Отрицательное значение означает, что в среднем вы теряете деньги.

5.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,6687

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z-оценки

z₁ = (420 − 500)/40 = −2

z₂ = (520 − 500)/40 = 0,5

Площадь между

P = Φ(0,5) − Φ(−2) = 0,6915 − 0,02275 = 0,6687

Ответ

P = 0,6687

6.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,9772

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение разности

μ = 25,05 − 25 = 0,05 mm, σ = 0,025 mm

Стандартизуйте

z = (0 − 0,05)/0,025 = −2

Вероятность

P = 1 − Φ(−2) = 0,9772

Ответ

P = 0,9772

7.Доверительные интервалы

Ответ: верхняя граница = 15,25 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Точечная оценка

x̄₁ − x̄₂ = 141 − 128 = 13

Стандартная ошибка

SE = √(5²/40 + 10²/80) = 1,369

Предельная ошибка

E = 1,645·1,369 = 2,253

Интервал

13 ± 2,253 → [10,75, 15,25]

Ответ

верхняя граница = 15,25 h

Интервал не содержит 0, поэтому средние значимо различаются.

8.Доверительные интервалы

Ответ: n = 35

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Выразите n

n = (1,96·12/4)² = 34,57

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 35

Ответ

n = 35

9.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = −1,425

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 12/√81 = 12/9 = 1,333

Статистика критерия

t = (498,1 − 500)/1,333 = −1,425

Ответ

t = −1,425

t_{0,025; df = 80} = 1,99

|t| < 1.99, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

10.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: z = −0,6258

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Выборочные доли

p̂₁ = 48/80 = 0,6

p̂₂ = 128/200 = 0,64

p̂ = 176/280 = 0,6286

Стандартная ошибка при H₀

SE = √(0,6286·0,3714·(1/80 + 1/200)) = 0,06392

Статистика критерия

z = (0,6 − 0,64)/0,06392 = −0,6258

Ответ

z = −0,6258

|z| < 1.96, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

11.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = −0,9396

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 104/5 = 20,8

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −25

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 70,8

Коэффициент корреляции

r = −25/√(10·70,8) = −0,9396

Ответ

r = −0,9396

12.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: x = 3,5

Средние

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 93/5 = 18,6

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −32

Линия регрессии

b = −32/10 = −3,2

a = 18,6 − (−3,2)·3 = 28,2

ŷ = 28,2 − 3,2·x

Найдите x

x = (17 − 28,2)/(−3,2) = 3,5

Ответ

x = 3,5

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1