Основы статистики: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 47, 36, 44, 15, 37, 26.

n = 6

s =

2.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 500 и стандартным отклонением 25. Какая доля P значений больше 515?

μ = 500σ = 25x = 515

P =

3.ВероятностьСредняя

В мешочке 6 красных и 3 синих шаров. Вы вынимаете два шара, не возвращая первый. Какова вероятность P, что оба красные?

6 / 3

P =

4.ВероятностьСложная

Испытывают 6 компонентов, каждый выходит из строя независимо с вероятностью 0,4. Какова вероятность P, что откажет не более одного?

n = 6p = 0,4

P =

5.Нормальное распределениеСредняя

Пусть массы пакетов распределены нормально со средним 250 g и стандартным отклонением 5 g. Какая доля значений лежит между 244 и 254 g? Дайте P в виде десятичной дроби.

μ = 250σ = 5x₁ = 244x₂ = 254

P =

6.Нормальное распределениеСложная

Распределение «массы пакетов» нормальное: среднее 250 g, стандартное отклонение 5 g. Перетащите границу так, чтобы закрашенные верхние 60% были справа от неё. Найдите границу x.

μ = 250 gσ = 5 g60%

x = g

7.Доверительные интервалыСредняя

90 % доверительный интервал для среднего, построенный по 25 наблюдениям при известном σ, имеет предельную ошибку 4,7. Какой будет предельная ошибка E₂ 95 % интервала по 100 наблюдениям?

90%n₁ = 25E₁ = 4,795%n₂ = 100

E₂ =

8.Доверительные интервалыСложная

Испытываются два удобрения. Группа участков 1: 7 участков, средний урожай 85 kg, стандартное отклонение 3,5 kg. Группа участков 2: 5 участков, среднее 92,5 kg, стандартное отклонение 5 kg. Считайте дисперсии равными (объединённый t-критерий, df = n₁ + n₂ − 2). Найдите нижнюю границу 90 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.

n₁ = 7x̄₁ = 85s₁ = 3,5n₂ = 5x̄₂ = 92,5s₂ = 590%t(10) = 1,812

нижняя граница = kg

9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Сравниваются два метода обучения. Группа 1: 5 студентов, средний балл 50,5, стандартное отклонение 10,5. Группа 2: 7 студентов, средний балл 53,6, стандартное отклонение 7,5. Считайте дисперсии генеральных совокупностей равными и используйте двухвыборочный t-критерий с объединённой дисперсией. Найдите статистику критерия t для H₀: μ₁ = μ₂, принимая разность как x̄₁ − x̄₂ (группа 1 минус группа 2).

n₁ = 5x̄₁ = 50,5s₁ = 10,5n₂ = 7x̄₂ = 53,6s₂ = 7,5

t =

10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Односторонний z-критерий для H₀: μ = 80 против H₁: μ < 80 проводится при α = 0.10 по выборке объёмом 25; стандартное отклонение известно и равно 5. В действительности среднее равно 77. Найдите вероятность ошибки второго рода β в процентах.

μ₀ = 80μ = 77σ = 5n = 25α = 0,10

β = %

11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 6 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Найдите коэффициент детерминации r² прямой наименьших квадратов.

n = 6

r² =

12.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 5 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Спрогнозируйте ŷ при x = 1,5.

n = 5x = 1,5

ŷ =

3Растворы

1.Описательная статистика

Ответ: s = 11,89

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 205/6 = 34,17

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = 12,83² + 1,833² + 9,833² + (−19,17)² + 2,833² + (−8,167)² = 706,8

Стандартное отклонение

s = √(706,8/5) = 11,89

Ответ

s = 11,89

2.Описательная статистика

Ответ: P = 0,2743

Стандартизуйте

z = 0,6

Таблица нормального распределения

Φ(0,6) = 0,7257

P = 1 − 0,7257 = 0,2743

Ответ

P = 0,2743

3.Вероятность

Ответ: P = 0,4167

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Первое и второе извлечение

P = 6/9 · 5/8 = 30/72 = 0,4167

Ответ

P = 0,4167

4.Вероятность

Ответ: P = 0,2333

Ноль и один отказ

P(X = 0) = 0,6⁶ = 0,04666

P(X = 1) = 6·0,4·0,6⁵ = 0,1866

Сложите

P = 0,04666 + 0,1866 = 0,2333

Ответ

P = 0,2333

5.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,6731

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z-оценки

z₁ = (244 − 250)/5 = −1,2

z₂ = (254 − 250)/5 = 0,8

Площадь между

P = Φ(0,8) − Φ(−1,2) = 0,7881 − 0,1151 = 0,6731

Ответ

P = 0,6731

6.Нормальное распределение

Ответ: x = 248,8 g

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева

Φ(z) = 0,4

z из таблицы

z ≈ −0,25

Возврат к исходным единицам

x = 250 − 0,25·5 = 248,8 g

Ответ

x = 248,8 g

7.Доверительные интервалы

Ответ: E₂ = 2,8

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Отношение предельных ошибок

E₂/E₁ = (1,96/1,645)·√(25/100) = 0,5957

Новая предельная ошибка

E₂ = 4,7·0,5957 = 2,8

Ответ

E₂ = 2,8

8.Доверительные интервалы

Ответ: нижняя граница = −11,92 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Объединённое стандартное отклонение

s_p² = (6·3,5² + 4·5²)/10 = 17,35

s_p = 4,165

Предельная ошибка

E = 1,812·4,165·√(1/7 + 1/5) = 4,419

Интервал

−7,5 ± 4,419 → [−11,92, −3,081]

Ответ

нижняя граница = −11,92 kg

9.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = −0,6

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Объединённая дисперсия

s_p² = (4·10,5² + 6·7,5²)/10 = 77,85

s_p = 8,823

Стандартная ошибка

SE = 8,823·√(1/5 + 1/7) = 5,166

Статистика критерия

t = (50,5 − 53,6)/5,166 = −0,6

Ответ

t = −0,6

При df = 10 двустороннее критическое значение на уровне 5 % равно 2,228; |t| меньше, поэтому H₀ не отвергается.

10.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: β = 4,29 %

Мощность критерия: мощность = 1 − β — вероятность отвергнуть H₀, когда она ложна. Найдите границу x̄c по μ₀ и z_α, затем вычислите вероятность оказаться за x̄c при истинном среднем: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Критическое выборочное среднее

SE = 5/√25 = 1

x̄_c = 80 − 1,282·1 = 78,72

z при истинном среднем

z = (78,72 − 77)/1 = 1,718

Ошибка второго рода

мощность = P(Z < 1.718) = 95.71%

β = 100% − 95,71% = 4,29%

Ответ

β = 4,29%

11.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r² = 0,9692

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 129/6 = 21,5

ȳ = 551/6 = 91,83

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 745,5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 3641

Коэффициент детерминации

r² = 745,5²/(157,5·3641) = 0,9692

Ответ

r² = 0,9692

Прямая объясняет около 96,92% вариации y.

12.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: ŷ = 44,65

Средние

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 266/5 = 53,2

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 57

Линия регрессии

b = 57/10 = 5,7

a = 53,2 − 5,7·3 = 36,1

ŷ = 36,1 + 5,7·x

Прогноз

ŷ = 36,1 + 5,7·1,5 = 44,65

Ответ

ŷ = 44,65

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1